Изменения
→Перебор делителей
}}
{{Определение | definition=
'''Разложение на множители''', или '''Факторизация целых чисел''' (англ. ''integer factorization'') — представление числа в виде [[Основная теорема арифметикиНатуральные числа#Основная теорема арифметики | произведения его множителей]].
}}
== Перебор делителей==
{{Определение | definition=
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм для факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
}}
=== Наивная реализация O(n) ===
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], в купе вкупе с утверждением, что <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2; <tex>number]</tex>].
==== Основная идея ====
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители(множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.
==== Псевдокод нахождения простых множителей ====
Так как простых множителей не может быть больше, чем <tex>n</tex>, то а в худшем случае (когда число простое, и на каждое итерации выполняется <tex>probe++</tex> увеличивается на <tex>1</tex>) он работает за <tex>O(n)</tex>. Следовательно, то, следовательно, алгоритм работает за <tex>O(n)</tex>.
'''function''' getMultipliers(number: '''int'''): '''vector<int>'''
result += [number / probe] <font color=green>// записываем сопряженный делитель</font>
'''return''' result
=== Проверка числа на простоту ===
Алгоритм можно переделать для нахождения простых чисел. Число будет простым, если у него не окажется множителей (и делителей) кроме <tex>1</tex> (алгоритмы не проверяют делимость на <tex>1</tex>) и самого числа (улучшенная реализация опускает этот делитель).
== Предподсчет ==
<font color=green>// возвращает только дополнительный массив</font>
'''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n+ 1] result = [n+ 1] result[n] = n
<font color=green>// выбираем следующий простой делитель</font>
'''for''' i = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex> '''if''' result[i] <tex>\ne</tex> ''null''= 0
<font color=green>// записываем делитель в элементы массива,
// соответствующие числа которых делятся нацело</font>
// делением предыдущего на простой делитель из решета</font>
curNum = number
'''while''' sieve[curNum] <tex>\ne</tex> ''null''1 result += sieve[sieveNumcurNum]
curNum /= sieve[curNum]
'''return''' result
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]
