Изменения
→Перебор делителей
== Перебор делителей==
{{Определение | definition=
'''Перебор делителей''' (англ. ''Trial division'') — алгоритм для факторизации или тестирования простоты числа путем полного перебора всех возможных потенциальных делителей.
}}
=== Наивная реализация O(n) ===
[[Основная теорема арифметики#Основная теорема арифметики#Собственно теорема | Основная теорема арифметики]], в купе вкупе с утверждением, что <tex>y</tex> не делит <tex>x</tex> нацело: <tex>\forall x, y \in \mathbb{N}~~x<y \Longrightarrow</tex> <tex>\left( \dfrac{x}{y} < 1 \right)</tex>, позволяют нам ограничить пространство поиска делителей числа <tex>number</tex> интервалом <tex>[2;number]</tex>.
==== Основная идея ====
Заметим, что если <tex>number</tex> = <tex>\prod p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_j \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>, то <tex>\left(\dfrac{number}{p_j}\right) = \prod\limits_{i \ne j} p_i = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{j-1} \cdot p_{j+1} \cdot \ldots \cdot p_n</tex>. Таким образом, мы можем делить <tex>number</tex> на его делители (множители) последовательно и в любом порядке. Тогда будем хранить <tex>curNum \colon curNum = \dfrac{number}{\prod result_i}</tex> — произведение оставшихся множителей.
<font color=green>// возвращает только дополнительный массив</font>
'''function''' sieveOfEratosthenes(n: '''int'''): '''int'''[n+ 1] result = [n+ 1] result[n] = n
<font color=green>// выбираем следующий простой делитель</font>
'''for''' i = 2 '''to''' <tex>\sqrt{n}</tex>
'''if''' result[i] = i0
<font color=green>// записываем делитель в элементы массива,
// соответствующие числа которых делятся нацело</font>
[[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]]
[[Категория: Теория чисел]]
