Разложение рациональной функции в ряд — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 8: Строка 8:
 
}}
 
}}
  
Рациональные производящие функции получаются при [[Производящая функция#Решение рекуррентных соотношений|решении линейных рекуррентных соотношений]]. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной z. <br>
+
Рациональные производящие функции получаются при [[Производящая функция#Решение рекуррентных соотношений|решении линейных рекуррентных соотношений]]. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной z.  
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её (если это возможно) на сумму «более простых» дробей: таких дробей, разложение которых мы можем посмотреть в таблице или вывести из каких-то элементарных соображений. Такая процедура назвается разбиением на элементарные дроби.
 
 
<br>
 
<br>
Эти дроби, в свою очередь, лекго разложить в ряд, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|преобразованиями]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].
+
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её на сумму элементарных дробей.
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Элементарными дробями''' будем называть дроби вида:
 +
<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}</tex>, <tex>\dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^m}</tex>, где m, n >= 1
 +
и (x^2 + px + q) не имеет рациональных корней
 +
}}
 
<br>
 
<br>
Пример
+
Затем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].
 +
<br>
 +
 
 +
==Общий алгоритм==
 +
# Привести дробь P(z)/Q(z) к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя.Если deg(P) > deg(Q), то можем записать <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P0(z)}{Q(z)}</tex>, где deg(P0) < deg(Q)
 +
# Разобьем знаменатель Q(z) на множители Q(z) = (zk-z)^k1 *..., где z1, z2, ..., zs - корни уравнения Q(z) = 0. При этом, k1+k2+⋅⋅⋅+ks=deg Q После разбиения знаменателя на множители получим: <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks}</tex> (k1, ks - сделать индексами)
 +
# Приведем G(z) к сумме дробей, знаменатели которых будут иметь вид (zs−z)^ks, а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень ks−1. <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks} = \sum\limits \dfrac{Pj(z)}{(zj-z)^kj}</tex> где, Pj(z) — полином, причем deg Pj(z)<kj. Найдем Pj(z) с помощью [[Разложение рациональной функции в ряд#Метод неопределенных коэффициентов|метода неопределнных коэффициентов]].
 +
<br>
 +
 
 +
==Метод неопределенных коэффициентов==

Версия 00:00, 27 мая 2017

Определение:
Рациональная функция — это формальный функция вида:

[math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math],

где P и Q - полиномы.


Рациональные производящие функции получаются при решении линейных рекуррентных соотношений. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной z.
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её на сумму элементарных дробей.

Определение:
Элементарными дробями будем называть дроби вида:

[math]\dfrac{A}{(x-a)^n}[/math], [math]\dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^m}[/math], где m, n >= 1

и (x^2 + px + q) не имеет рациональных корней


Затем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь формулами преобразования производящих функций и таблицей производящих функций.

Общий алгоритм

  1. Привести дробь P(z)/Q(z) к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя.Если deg(P) > deg(Q), то можем записать [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P0(z)}{Q(z)}[/math], где deg(P0) < deg(Q)
  2. Разобьем знаменатель Q(z) на множители Q(z) = (zk-z)^k1 *..., где z1, z2, ..., zs - корни уравнения Q(z) = 0. При этом, k1+k2+⋅⋅⋅+ks=deg Q После разбиения знаменателя на множители получим: [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks}[/math] (k1, ks - сделать индексами)
  3. Приведем G(z) к сумме дробей, знаменатели которых будут иметь вид (zs−z)^ks, а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень ks−1. [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks} = \sum\limits \dfrac{Pj(z)}{(zj-z)^kj}[/math] где, Pj(z) — полином, причем deg Pj(z)<kj. Найдем Pj(z) с помощью метода неопределнных коэффициентов.


Метод неопределенных коэффициентов