635
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:
<center>
<tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}</tex>,
</center>
где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.
}}
{{Определение
|definition=
'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида:
<center>
<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{Bx + CP(x)}{(Q(x^2 + px + q))^m}</tex>,
</center>
где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{---}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{---}} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>p^2 - 4q \deg(P) < 0\deg(Q)</tex> .
}}
==Общий алгоритм==
# Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома <tex>P(z)</tex>, составив, таким образом, систему линейных уравнений.
# Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
# Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].
===Примеры===
#Разложить в ряд функцию <tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex>
#:Разложим знаменатель функции на множители: <tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2</tex>, тогда <tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>
#:Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex>:
#:<tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}</tex>, где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы.
#:Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:
#:<tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex>
#:Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br>
#:<tex>A+B=0</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br>
#:<tex>B+C-2A=4</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br>
#:<tex>A+C=8</tex> {{---}} это коэффициент при <tex>z^0</tex>.
#:Решая систему из трех уравнений, находим <br>
#:<tex>A=1</tex>,<br>
#:<tex>B=-1</tex>,<br>
#:<tex>C=7</tex>.
#:Получаем: <tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex>
#:Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:
#:<tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex>
#:<tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex>
#:<tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex>
#:Тогда <tex> G(z)=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(-1)^n)z^n=\sum_{n=0}^\infty (6n+7+(-1)^n)z^n</tex>
#:или <tex>[z^n]G(z) = 6n+7+(-1)^n, \qquad n \geqslant 0</tex>.
#Разложить в ряд рациональную функцию <tex>G(z)=\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex>
#:Разбив знаменатель на множители, получаем: <tex>\dfrac{8-46z+89z^2-59z^3}{1-8z+23z^2-28z^3+12z^4}=\dfrac{A}{1-z}+\dfrac{Bz+C}{(1-2z)^2}+\dfrac{D}{1-3z}.</tex>
#:Приведём все дроби к общему знаменателю: <tex>\dfrac{(-12A+3B-4D)z^3+(16A-4B+3C+8D)z^2+(-7A+B-4C-5D)z+A+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.</tex>
#:Решаем систему линейных уравнений:
#:<tex>-12A+3B-4D=-59</tex>
#:<tex>16A-4B+3C+8D=89</tex>
#:<tex>-7A+B-4C-5D=-46</tex>
#:<tex>A+C+D=8</tex>
#:Решение этой системы:
#:<tex>A=4, B=3, C=−1, D=5.</tex>
#:Это означает, что <tex>G(z)= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.</tex>
#:Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей:
#:<tex>G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.</tex>
#:То есть
#:<tex>[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4</tex>
#:<tex>G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).</tex>
==Проблема==
На практике могут появиться рациональные функции, знаменатели которых не имееют действительных корней, тогда разбить эти фукции на более простые части не получится, что усложнит разложение в ряд. <br>
Например, производящая функция, генерирующая количество гамильтоновых циклов на прямоугольной решётке размером <tex>6 \times n</tex> <ref>[http://oeis.org/ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]</ref>.
<center>
<tex>
G(z)=\dfrac{z(1-z)(z^{11}-z^{10}+3z^9+12z^8-3z^7-3z^4+21z^3-3z^2-1)}{2z^{14}-4z^{13}+28z^{12}+42z^{11}-82z^{10}-8z^9+118z^8-66z^7-35z^6+90z^5+12z^4-63z^3+14z^2+5z-1}.
</tex>
</center>
==См. также==
* [[Производящая функция]]
* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]
* [[Производящие функции нескольких переменных]]
== Примечания ==
<references/>
==ПримерыИсточники информации ==Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}<* [http://tex> <www.genfunc.ru/center>Производящие функции]
