635
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:
<center>
<tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}</tex>,
</center>
где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.
}}
{{Определение
|definition=
'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида:
<center>
<tex>\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{P(x)}{(Q(x))^m}</tex>,
</center>
где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{- --}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{--- }} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>\deg(P) < \deg(Q)</tex>.
}}
==Общий алгоритм==
# Представить получившиеся дроби в виде рядов, пользуясь [[Арифметические действия с формальными степенными рядами|формулами преобразования производящих функций]] и [[Производящая функция#Примеры простых производящих функций|таблицей производящих функций]].
===Примеры=====Пример 1===Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center> Разложим знаменатель функции на множители <center><tex> 1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,</tex></center> тогда <center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex><center><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},</tex></center>где <tex>A, B</tex> и <tex>C</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2}=\dfrac{A(1-z)^2+(Bz+C)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{(A+B)z^2+(B+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br><tex>A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^2</tex>,<br><tex>B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>z^1</tex>,<br><tex>A+C=8</tex> - это коэффициент при <tex>z^0</tex>. Решая систему из трех уравнений, находим <br><tex>A=1</tex>,<br><tex>B=-1</tex>,<br><tex>C=7</tex>. Получаем<center><tex>\dfrac{A}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex></center> Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:<center><tex>\dfrac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^n </tex> <tex>\dfrac{7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(n+1) z^n </tex> <tex>\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n .</tex> </center>
<center>
<tex>
</tex>
</center>
===Пример 2=См. также==* [[Производящая функция]]* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]* [[Производящие функции нескольких переменных]]
== Источники информации ==