Изменения

'''Рациональная функция''' — (англ. ''Rational function'') {{---}} это функция вида:

где <tex>P</tex> и <tex>Q</tex> {{- --}} полиномы.

'''Элементарными дробями''' (англ. ''Simple partial fractions'') будем называть дроби вида:

где <tex> m, n \geqslant 1</tex>, <tex>P(x), Q(x)</tex> {{- --}} полиномы, причем <tex>Q(x)</tex> {{--- }} полином, не имеющий рациональных корней и <tex>\deg(P) < \deg(Q)</tex>.

===Примеры=====Пример 1===Разложить в ряд функцию <center><tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}.</tex> </center>

Разложим знаменатель функции на множители <center>#Разложить в ряд функцию <tex> G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3=(1+z)(1-z)^2,}.</tex></center> тогда #:Разложим знаменатель функции на множители: <centertex><tex>G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{8+4z}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center> Представим функцию на сумму двух дробей, причем у первой в числителе будет полином степени тогда <tex>0</tex>, а у второй степени <tex>1</tex><center><tex>G(z)G(z)=\dfrac{8+4z}{1-z-z^2+z^3}=\dfrac{A8+4z}{(1+z)}+\dfrac{Bz+C}{(1-z)^2},.</tex></center>где <tex>A#:Представим функцию на сумму двух дробей, Bпричем у первой в числителе будет полином степени <tex>0</tex> и , а у второй степени <tex>C1</tex> — некоторые константы. Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:<center>#:<tex>G(z)=\dfrac{A8+4z}{(1-z-z^2+z)^3}+=\dfrac{Bz+CA}{(1-+z)^2}=+\dfrac{ABz+C}{(1-z)^2+(Bz+}</tex>, где <tex>A, B</tex> и <tex>C)(1+z)}{(1+z)(</tex> — некоторые константы.#:Для того, чтобы найти эти константы, нужно сложить дроби:#:<tex>\dfrac{A}{(1-+z)^2}=+\dfrac{(A+B)z^2+(BBz+C-2A)z+(A+C)}{(1+z)(1-z)^2}=\dfrac{8A(1-z)^2+(Bz+4zC)(1+z)}{(1+z)(1-z)^2}.</tex></center>Из последнего равенства, сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br><tex>=\dfrac{(A+B=0</tex> - это коэффициент при <tex>z^)z^2</tex>,<br><tex>+(B+C-2A=4</tex> - это коэффициент при <tex>)z^+(A+C)}{(1</tex>,<br><tex>A+C+z)(1-z)^2}=\dfrac{8</tex> +4z}{(1+z)(1- это коэффициент при <tex>z)^02}.</tex>. Решая систему из трех уравнений#:Из последнего равенства, находим сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях в числителе<br>#:<tex>A+B=10</tex>,<br>{{---}} это коэффициент при <tex>B=-1z^2</tex>,<br>#:<tex>B+C-2A=74</tex>. Получаем{{---}} это коэффициент при <centertex>z^1</tex>,<br>\dfrac{#:<tex>A}{(1+z)}+\dfracC=8</tex> {Bz+C}{(1-z)^2--} =\dfrac{1}{1+это коэффициент при <tex>z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}^0</tex>.#:Решая систему из трех уравнений, находим <br>#:<tex>A=\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{7}{(1</tex>,<br>#:<tex>B=-z)^2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}.</tex>,<br>#:</tex>C=7</center> Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:<centertex>.#:Получаем: <tex>\dfrac{1A}{(1+z)}=+\sum_dfrac{n=0Bz+C}^\infty {(1-1z)^n z^n </tex>  <tex>2} =\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{-z+7}{(1-z)^2}=\sum_dfrac{1}{n=01+z}^+\infty dfrac{7}{(n+1-z) z^n </tex>  <tex>2}-\dfrac{z}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty n z^n ..</tex>#:Эти дроби разложим в ряд, пользуясь таблицей производящих функций и формулами преобразования:</center> Тогда<center>#:<tex> G(\dfrac{1}{1+z)}=\sum_{n=0}^\infty (7(n+1)-n+(--1)^n)z^n=</tex>#:<tex>\sum_dfrac{n7}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^\infty 7(6nn+7+(-1)^n)z^n</tex>#:</centertex> Или <center><tex>[\dfrac{z^n]G}{(1-z) ^2}= 6n+7+(-1)\sum_{n=0}^\infty n, \qquad z^n \geqslant 0.</tex>#:Тогда </centertex> ===Пример 2=== Разложить в ряд рациональную функцию<center><tex>G(z)=\dfracsum_{8n=0}^\infty (7(n+1)-46zn+89z^2(-59z1)^3}{1-8z+23zn)z^2-28zn=\sum_{n=0}^3\infty (6n+12z7+(-1)^n)z^4}.n</tex></center>Разбив знаменатель на множители, получаем#:или <centertex><tex>\dfrac{8-46z[z^n]G(z) = 6n+7+89z^2(-59z^3}{1-8z+23z)^2-28z^3+12z^4}=n, \dfrac{A}{1-z}+qquad n \dfrac{Bz+C}{geqslant 0</tex>.#Разложить в ряд рациональную функцию <tex>G(1-2zz)^2}+=\dfrac{D8-46z+89z^2-59z^3}{1-3z8z+23z^2-28z^3+12z^4}.</tex>#:Разбив знаменатель на множители, получаем: </centertex>Приведим все дроби к общему знаменателю:<center><tex>\dfrac\dfrac{(8-12A46z+3B89z^2-4D)z59z^3+(16A}{1-4B8z+3C+8D)z23z^2+(-7A28z^3+B-4C12z^4}=\dfrac{A}{1-5D)z}+A\dfrac{Bz+C+D}{(1-z)(1-2z)^2(}+\dfrac{D}{1-3z)}.</tex></center> Решаем систему линейных уравнений#:Приведём все дроби к общему знаменателю: <tex>-\dfrac{(-12A+3B-4D=-59</tex> <tex>)z^3+(16A-4B+3C+8D=89</tex> <tex>)z^2+(-7A+B-4C-5D=-46</tex> <tex>)z+A+C+D=8}{(1-z)(1-2z)^2(1-3z)}.</tex>  Решение этой системы#:Решаем систему линейных уравнений:  #:<tex>A-12A+3B-4D=4, B=3, C-59</tex>#:<tex>16A-4B+3C+8D=−1, D=5.89</tex>  Это означает, что#:<centertex>-7A+B-4C-5D=-46</tex>#:<tex>G(z)A+C+D=8</tex>#:Решение этой системы: #:<tex>A= \dfrac{4}{1-, B=3, C=−1, D=5.</tex> #:Это означает, что <tex>G(z} )= \dfrac{4}{1-z} + \dfrac{3z}{(1-2z)^2} -\dfrac{1}{(1-2z)^2} + \dfrac{5}{1-3z}.</tex></center> #:Теперь каждую дробь можно разложить в ряд, пользуясь таблицей: <center>#:<tex>G(z) = 4\sum_{n=0}^\infty z^n + 3\sum_{n=0}^\infty n2^{n-1}z^n-\sum_{n=0}^\infty (n+1) 2^n z^n+5\sum_{n=0}^\infty 3^n z^n.</tex></center> #:То есть<center>#:<tex>[z^n]G(z) = 5\cdot3^n + 3n2^{n-1} - (n+1)2^n+4= 5\cdot3^n+n2^{n-1}-2^n+4^{n-1}-2^n+4</tex>#:</tex>   <tex>G(z) = 8+18z+49z^2+143z^3+425z^4+1267z^5+3777z^6+11259z^7+O(z^{8}).</tex></center>

На практике могут появиться рациональные функции, знаменатели которых не имееют действительных корней, тогда разбить эти фукции на более простые части не получится, что усложнит разложение в ряд.<br>Например, производящая функция, генерирующая количество гамильтоновых циклов на прямоугольной решётке размером <tex>6 \times n</tex> <ref>[http://oeis.org/ The On-Line Encyclopedia of Integer SequenceSequences]</ref>.