Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Разложение функций в степенные ряды

2583 байта добавлено, 15:44, 12 июня 2011
взял из Фихтенгольца биномиальное разложение с остатком по Коши, посмотрите, вроде похоже на правду.
[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]
<wikitex>
== Степенные ряды ==
Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n , \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
В силу сказанного ранее, f - бесконечно дифференцируема, все производные записываются степенными рядами с тем же радиусом сходимости:
Подставим $ x = x_0 $:
$f^{(p)}(x_0) = p!\ cdot a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} $
Пусть в определенной точке $ x_0 $ задана $ y = f(x) $, в точке $ x_0 $ существуют производные любого порядка.
{{Определение
|definition=
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.
}}
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\inftyn} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.
Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $.
Рассуждение Коши, показывающее, что $ \exists f \in C^{\infty} $, но не разлагаемая Приведем пример неразложимой в ряд Тейлорафункции:
$ f(x) = \begin{cases}0, x = 0\\e^{-\frac 1{x^2}}, x \ne 0\end{cases} $
== Примеры разложения функций ==
Приведем классические разложения, некоторые обоснуем.
=== e^x ===
Рассмотрим $ y = e^x; \qquad (e^x)^{(p)} = e^x $
$ e \stackrel{def}{=} \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac1n)^n $
Внезапно, мы решили что $ \lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac1nfrac1x} = e $
Эйлер поступил по-другому:
$ (1 + \frac1n)^n \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} (1 - \frac0n) (1 - \frac1n) \dots (1 - \frac{k - 1}n) $.
Устремим <tex>n </tex> к бесконечности. Так как число слагаемых в сумме и множителей в каждом слагаемом конечно, сделаем в сумме предельный переход: сумма конечна, следовательно, можно переходить к пределу $ e \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} $. Итого: $ (1 + \frac1N)^N \le \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} \le e $
$ e \ge \sum\limits_{k = 0}^Теперь устремим <tex> N \frac1{k!} $. Итого</tex> к бесконечности: $ (1 + \frac1n)^n \le \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!} \le e $
Итак, $ e \le \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac1{k!} \le e \Rightarrow f(1) = e $
Полагаем $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
=== ln(1 + x) ===
Рассмотрим $ f = ln(1 + x) $ и разложим ее в степенной ряд другим приемом.
Воспользуемся тем, что ряд можно почленно интегрировать
$ \int\limits_0^x \frac1{1 + t}dt = \int\limits_0^x \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n x^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \int\limits_0^x (-1)^n x^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n + 1}}{n + 1} = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 \dots $ (при $|x| < 1$ ) $
Заметим, что если формально подставить 1, то:
Впервые разложение $\ln 2$ было найдено Лейбницем. Для доказательства можно было применить тауберову теорему Харди + суммирование расходящихся рядов.
=== n!. Формула Стирлинга ===
Установим классическую асимптотическую формулу Стирлинга для факториала:
{{Утверждение
$ e < (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < e \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} $
$ 1 < \frac1e (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < e^{\frac1{12n(n + 1)}} $ Рассмотрим последовательность $ a_n = \frac{n!}{n^{n + \frac12}} \cdot e^n $:
$ \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \frac{n! e^n {(n + 1)}^{n + \frac32}}{n^{n + \frac12} (n + 1)! e^{n + 1}} = \frac{{(1 + \frac1n)}^{n + \frac12}}{e} > 1 \Rightarrow $ последовательность $ a_n $ убывает, значит, по теореме Вейерштрасса, $ \exists a = \lim\limits_{n \to \infty} a_n $, $ a \le a_n $
$a^2 = 2 \pi \Rightarrow a = \sqrt{2 \pi} $
}}
 
=== sin(x) и cos(x) ===
Поступая аналогично, можно разложить тригонометрические функции sin и cos и обратить внимание на ограниченность $ \sin^{(n)} (x) \Rightarrow r_n(x) \to 0 \quad \forall x $.
$ \sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \sin(y) \cos(x) $
=== (1 + x)^a ===
Из Фихтенгольца:
 
Остаток по Коши формулы Тейлора(1 том, стр. 257):
 
$ r_n(x) = \frac{f^{(n + 1)} (x_0 + \theta (x - x_0))}{n!} (1 - \theta)^n (x - x_0)^{n + 1} $, где $ 0 < \theta < 1 $
 
Биномиальное разложение:
 
$ (1 + x)^{a} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{a (a - 1) \dots (a - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, a \in \mathbb{R} $
 
С помощью признака Даламбера можно установить что при $ |x| < 1 $ биномиальный ряд абсолютно сходится, а при $ |x| > 1 $ - расходится.
 
Исследование $ r_n(x) $ будем проводить в форме Коши :
 
Так как $f^{(n + 1)}(x) = a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + x)^{a - n - 1} $, то получим:
 
$ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $
 
Перегруппируем множители, получим:
 
$ r_n(x) = \frac{(a - 1) \dots (a - 1 - n + 1)}{n!} x^n a x (1 + \theta x)^{a - 1} {\left( \frac{1 - \theta}{1 + \theta x} \right)}^n $
Первым примером разложения в ряд был бином Ньютона с дробным показателем. Формула ТейлораПервое из этих трех выражений представляет собой общий член биномиального ряда, но отвечающего показателю $ r_n \to 0 a - 1 $ когда , так как при $|x| < 1 $биномиальный ряд сходится, каков бы не был показатель, это выражение при $ a \to \infty $ стремится к 0.Что же касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине содержится между границами:
Остаток записывают в форме Коши:$ |ax| \cdot (1 - |x|)^{a - 1} $ и $|ax| \cdot (1 + |x|)^{a - 1} $, не зависящими от n, а третье меньше единицы. Таким образом, $ r_n(x) \to 0 $, то есть для $ |x| < 1 $ разложение имеет место быть.
$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
</wikitex>
[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]

Навигация