Изменения

[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]

$f^{(p)}(x_0) = p!\ cdot a_p \Rightarrow a_p = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} $

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\inftyn} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.

Устремим <tex>n </tex> к бесконечности. Так как число слагаемых в сумме и множителей в каждом слагаемом конечно, сделаем в сумме предельный переход: сумма конечна, следовательно, можно переходить к пределу $ e \ge \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} $. Итого: $ (1 + \frac1N)^N \le \sum\limits_{k = 0}^N \frac1{k!} \le e $

$ e \ge \sum\limits_{k = 0}^Теперь устремим <tex> N \frac1{k!} $. Итого</tex> к бесконечности: $ (1 + \frac1n)^n \le \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!} \le e $

$ 1 < \frac1e (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} $

Первым примером разложения в Из Фихтенгольца: Остаток по Коши формулы Тейлора(1 том, стр. 257): $ r_n(x) = \frac{f^{(n + 1)} (x_0 + \theta (x - x_0))}{n!} (1 - \theta)^n (x - x_0)^{n + 1} $, где $ 0 < \theta < 1 $ Биномиальное разложение: $ (1 + x)^{a} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{a (a - 1) \dots (a - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, a \in \mathbb{R} $ С помощью признака Даламбера можно установить что при $ |x| < 1 $ биномиальный ряд был бином Ньютона с дробным показателемабсолютно сходится, а при $ |x| > 1 $ - расходится. Формула Тейлора Исследование $ r_n(x) $ будем проводить в форме Коши : Так как $f^{(n + 1)}(x) = a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + x)^{a - n - 1} $, то получим: $ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ Перегруппируем множители, получим: $ r_n (x) = \frac{(a - 1) \dots (a - 1 - n + 1)}{n!} x^n a x (1 + \theta x)^{a - 1} {\left( \frac{1 - \theta}{1 + \theta x} \to 0 right)}^n $ Первое из этих трех выражений представляет собой общий член биномиального ряда, но отвечающего показателю $ a - 1 $ когда , так как при $|x| < 1 $биномиальный ряд сходится, каков бы не был показатель, это выражение при $ a \to \infty $ стремится к 0.Что же касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине содержится между границами: