1679
правок
Изменения
взял из Фихтенгольца биномиальное разложение с остатком по Коши, посмотрите, вроде похоже на правду.
=== (1 + x)^a ===
Остаток записывают по Коши формулы Тейлора(1 том, стр. 257): $ r_n(x) = \frac{f^{(n + 1)} (x_0 + \theta (x - x_0))}{n!} (1 - \theta)^n (x - x_0)^{n + 1} $, где $ 0 < \theta < 1 $ Биномиальное разложение: $ (1 + x)^{a} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{a (a - 1) \dots (a - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, a \in \mathbb{R} $ С помощью признака Даламбера можно установить что при $ |x| < 1 $ биномиальный ряд абсолютно сходится, а при $ |x| > 1 $ - расходится. Исследование $ r_n(x) $ будем проводить в форме Коши: Так как $f^{(n + 1)}(x) = a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + x)^{a - n - 1} $, то получим: $ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ Перегруппируем множители, получим: $ r_n(x) = \frac{(a - 1) \dots (a - 1 - n + 1)}{n!} x^n a x (1 + \theta x)^{a - 1} {\left( \frac{1 - \theta}{1 + \theta x} \right)}^n $ Первое из этих трех выражений представляет собой общий член биномиального ряда, но отвечающего показателю $ a - 1 $, так как при $ |x| < 1 $ биномиальный ряд сходится, каков бы не был показатель, это выражение при $ a \to \infty $ стремится к 0. Что же касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине содержится между границами: $ |ax| \cdot (1 - |x|)^{a - 1} $ и $|ax| \cdot (1 + |x|)^{a - 1} $, не зависящими от n, а третье меньше единицы. Таким образом, $ r_n(x) \to 0 $, то есть для $ |x| < 1 $ разложение имеет место быть.
</wikitex>
[[Степенные ряды|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_VI_.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.BE.D0.BD.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D1.8F.D0.B4.D1.8B|>> на главную]]
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]
