Разрез, лемма о потоке через разрез

Материал из Викиконспекты
Версия от 15:35, 19 декабря 2010; Tsar (обсуждение | вклад) (Поток через разрез)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Определение разреза

Определение:
[math](s,t)[/math]-разрезом [math]\lt S,T\gt [/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям:

1) [math]s\in S, t\in T[/math]

2) [math]S\cup T=V[/math]

3) [math]S\cap T=\emptyset[/math]


Поток через разрез

Определение:
Пропускная способность разреза [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math].


Определение:
Поток в разрезе [math]\lt S,T\gt [/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math].


Лемма:
Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
скоро появится
[math]\triangleleft[/math]


Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза):
Пусть [math]\lt S,T\gt [/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\le c(S,T)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)= \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\gt 0}[/math], из-за органичений пропускных способностей ([math]f(u,v)\le c(u,v)[/math]).
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] - максимален, а разрез [math]\lt S,T\gt [/math] - минимален.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
скоро появится
[math]\triangleleft[/math]