Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Разрешение коллизий

17 536 байт добавлено, 23:30, 3 января 2019
→‎Линейное разрешение коллизий
'''Поиск свободного места при закрытом хешированииРазрешение [[Хеш-таблица|коллизий]]''' (англ. collision resolution) в [[Хеш-таблица|хеш- таблице]], задача, возникающая при создании решаемая несколькими способами: метод цепочек, открытая адресация и т.д. Очень важно сводить количество коллизий к минимуму, так как это увеличивает время работы с хеш-таблицы, использующей так называемое [[Открытое и закрытое хеширование#Закрытое хеширование|закрытое хеширование]]таблицами.
При использовании == Разрешение коллизий с помощью цепочек ==[[Открытое и закрытое хеширование#Открытое хешированиеФайл:open_hash.png|thumb|380px|right|Разрешение коллизий при помощи цепочек.]]Каждая ячейка <tex>i</tex> массива <tex>H</tex> содержит указатель на начало [[Список|открытого хешированиясписка]] такой проблемы не возникает, так как там в каждой ячейке хранится список всех элементов, хеш-код которых равен <tex>i</tex>, либо указывает на их отсутствие. При добавлении необходимо просто добавить элемент в начало спискаКоллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента.
[[Открытое и закрытое хеширование#Закрытое хеширование|Закрытое хеширование]] работает иначе: в каждой ячейке хеш-таблицы хранится только один элементВ зависимости от того нужна ли нам уникальность значений операции вставки у нас будет работать за разное время. Тогда при добавленииЕсли не важна, если ячейка свободнато мы используем список, время вставки в который будет в худшем случае равна <tex>O(1)</tex>. Иначе мы просто записываем добавляемый элемент проверяем есть ли в эту ячейку. Однако если эта ячейка занята - необходимо поместить добавляемый списке данный элемент в какую-нибудь другую свободную ячейку. Такие ситуации нередки, так как невозможно использовать хеш-функцию, не дающую коллизий, а каждой ячейке таблицы соответствует одно значение хеш-функциипотом в случае его отсутствия мы его добавляем. Далее мы рассмотрим несколько стратегий поиска свободного места В таком случае вставка элемента в данном худшем случае.будет выполнена за <tex>O(n)</tex>
== Стратегии Время работы поиска ==в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex> плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов.
Удаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, как и вставка, при использовании двухсвязного списка. == Линейное разрешение коллизий ==[[Файл:close_hash.png|thumb|380px|right|Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.]]Все элементы хранятся непосредственно в хеш-таблице, без использования связных списков. В отличие от хеширования с цепочками, при использовании этого метода может возникнуть ситуация, когда хеш-таблица окажется полностью заполненной, следовательно, будет невозможно добавлять в неё новые элементы. Так что при возникновении такой ситуации решением может быть динамическое увеличение размера хеш-таблицы, с одновременной её перестройкой. === Стратегии поиска === ''' Последовательный поиск '''
При попытке добавить элемент в занятую ячейку <tex>i</tex> начинаем последовательно просматривать ячейки <tex>i+1, i+2, i+3</tex> и так далее, пока не найдём свободную ячейку. В неё и запишем элемент.
[[Файл:hashtables1.png|400px|Последовательный поиск, частный случай линейного поиска.]] ''' Линейный поиск '''
Выбираем шаг <tex>q</tex>. При попытке добавить элемент в занятую ячейку <tex>i</tex> начинаем последовательно просматривать ячейки <tex>i+(1 \cdot q), i+(2 \cdot q), i+(3 \cdot q)</tex> и так далее, пока не найдём свободную ячейку. В неё и запишем элемент.
По сути последовательный поиск - частный случай линейного, где <tex>q=1</tex>.
[[Файл:Hashtables56.PNG|400px|Линейный поиск с шагом q.]] ''' Квадратичный поиск '''
Шаг <tex>q</tex> не фиксирован, а изменяется квадратично: <tex>q = 1,4,9,16...</tex>. Соответственно при попытке добавить элемент в занятую ячейку <tex>i</tex> начинаем последовательно просматривать ячейки <tex> i+1, i+4, i+9</tex> и так далее, пока не найдём свободную ячейку.
[[Файл:hashtables3.png|400px|Квадратичный поиск.]] === Проверка наличия элемента в таблице=== Проверка осуществляется аналогично добавлению: мы проверяем ячейку <tex>i</tex> и другие, в соответствии с выбранной стратегией, пока не найдём искомый элемент или свободную ячейку. При поиске элемента может получится так, что мы дойдём до конца таблицы. Обычно поиск продолжается, начиная с другого конца, пока мы не придём в ту ячейку, откуда начинался поиск. === Проблемы данных стратегий === Проблем две — крайне нетривиальное удаление элемента из таблицы и образование кластеров — последовательностей занятых ячеек. Кластеризация замедляет все операции с хеш-таблицей: при добавлении требуется перебирать всё больше элементов, при проверке тоже. Чем больше в таблице элементов, тем больше в ней кластеры и тем выше вероятность того, что добавляемый элемент попадёт в кластер.Для защиты от кластеризации используется двойное хеширование и [[Хеширование кукушки|хеширование кукушки]]. === Удаление элемента без пометок === Рассуждение будет описывать случай с линейным поиском хеша. Будем при удалении элемента сдвигать всё последующие на <tex>q</tex> позиций назад. При этом:* если в цепочке встречается элемент с другим хешем, то он должен остаться на своём месте (такая ситуация может возникнуть если оставшаяся часть цепочки была добавлена позже этого элемента)* в цепочке не должно оставаться "дырок", тогда любой элемент с данным хешем будет доступен из начала цепи Учитывая это будем действовать следующим образом: при поиске следующего элемента цепочки будем пропускать все ячейки с другим значением хеша, первый найденный элемент копировать в текущую ячейку, и затем рекурсивно его удалять. Если такой следующей ячейки нет, то текущий элемент можно просто удалить, сторонние цепочки при этом не разрушатся (чего нельзя сказать про случай квадратичного поиска).  '' Возможные проблемы 'Псевдокод '''  '''function''' delete('''Item''' i): j = i + q '''while''' table[j] == ''null'' '''or''' table[j].key != table[i].key '''if''' table[j] == ''null'' table[i] = ''null'' '''return''' j += q table[i] = table[j] delete(j)  Хеш-таблицу считаем зацикленной  {{Утверждение|about=о времени работы|statement=Асимптотически время работы <tex>\mathrm{delete}</tex> и <tex>\mathrm{find}</tex> совпадают|proof=Заметим что указатель <tex>j</tex> в каждой итерации перемещается вперёд на <tex>q</tex> (с учётом рекурсивных вызовов <tex>\mathrm{delete}</tex>). То есть этот алгоритм последовательно пройдёт по цепочке от удаляемого элемента до последнего {{---}} с учётом вызова <tex>\mathrm{find}</tex> собственно для нахождения удаляемого элемента, мы посетим все ячейки цепи.}} Вариант с зацикливанием мы не рассматриваем, поскольку если <tex>q</tex> взаимнопросто с размером хеш-таблицы, то для зацикливания в ней вообще не должно быть свободных позиций  Теперь докажем почему этот алгоритм работает. Собственно нам требуется сохранение трёх условий.* В редактируемой цепи не остаётся дырокДокажем по индукции. Если на данной итерации мы просто удаляем элемент (база), то после него ничего нет, всё верно. Если же нет, то вызванный в конце <tex>\mathrm{delete}</tex> (см. псевдокод) заметёт созданную дыру (скопированный элемент), и сам, по предположению, новых не создаст.* Элементы, которые уже на своих местах, не должны быть сдвинуты.Это учтено.* В других цепочках не появятся дырыПротивное возможно только в том случае, если какой-то элемент был действительно удалён. Удаляем мы только последнюю ячейку в цепи, и если бы на её месте возникла дыра для сторонней цепочки, это бы означало что элемент, стоящий на <tex>q</tex> позиций назад, одновременно принадлежал нашей и другой цепочкам, что невозможно. ==Двойное хеширование=='''Двойное хеширование''' (англ. double hashing) {{---}} метод борьбы с коллизиями, возникающими при открытой адресации, основанный на использовании двух хеш-функций для построения различных последовательностей исследования хеш-таблицы. ===Принцип двойного хеширования===При двойном хешировании используются две независимые хеш-функции <tex> h_1(k) </tex> и <tex> h_2(k) </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} это наш ключ, <tex> m </tex> {{---}} размер нашей таблицы, <tex>n \bmod m </tex> {{---}} остаток от деления <tex> n </tex> на <tex> m </tex>, тогда сначала исследуется ячейка с адресом <tex> h_1(k) </tex>, если она уже занята, то рассматривается <tex> (h_1(k) + h_2(k)) \bmod m </tex>, затем <tex> (h_1(k) + 2 \cdot h_2(k)) \bmod m </tex> и так далее. В общем случае идёт проверка последовательности ячеек <tex> (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \bmod m </tex> где <tex> i = (0, 1, \; ... \;, m - 1) </tex> Таким образом, операции вставки, удаления и поиска в лучшем случае выполняются за <tex>O(1)</tex>, в худшем {{---}} за <tex>O(m)</tex>, что не отличается от обычного [[Открытое_и_закрытое_хеширование#Линейное разрешение коллизий|линейного разрешения коллизий]].Однако в среднем, при грамотном выборе хеш-функций, двойное хеширование будет выдавать лучшие результаты, за счёт того, что вероятность совпадения значений сразу двух независимых хеш-функций ниже, чем одной. <center><tex>\forall x \neq y \; \exists h_1,h_2 : p(h_1(x)=h_1(y))> p((h_1(x)=h_1(y)) \land (h_2(x)=h_2(y)))</tex></center> ===Выбор хеш-функций===<tex> h_1 </tex> может быть обычной хеш-функцией. Однако чтобы последовательность исследования могла охватить всю таблицу, <tex> h_2 </tex> должна возвращать значения:*не равные <tex> 0 </tex>*независимые от <tex> h_1 </tex>*взаимно простые с величиной хеш-таблицы Есть два удобных способа это сделать. Первый состоит в том, что в качестве размера таблицы используется простое число, а <tex> h_2 </tex> возвращает натуральные числа, меньшие <tex> m </tex>. Второй {{---}} размер таблицы является степенью двойки, а <tex> h_2 </tex> возвращает нечетные значения. Например, если размер таблицы равен <tex> m </tex>, то в качестве <tex> h_2 </tex> можно использовать функцию вида <tex> h_2(k) = k \bmod (m-1) + 1 </tex> [[Файл: Вставка при двойном хэшировании.svg.jpeg|thumb|right|Вставка при двойном хешировании]] ===Пример=== Показана хеш-таблица размером 13 ячеек, в которой используются вспомогательные функции: <center><tex> h(k,i) = (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \bmod 13 </tex></center> <center><tex> h_1(k) = k \bmod 13 </tex></center> <center><tex> h_2(k) = 1 + k \bmod 11 </tex></center>
При поиске элемента может получится Мы хотим вставить ключ 14. Изначально <tex> i = 0 </tex>. Тогда <tex> h(14,0) = (h_1(14) + 0\cdot h_2(14)) \bmod 13 = 1 </tex>. Но ячейка с индексом 1 занята, поэтому увеличиваем <tex> i </tex> на 1 и пересчитываем значение хеш-функции. Делаем так, что мы дойдём пока не дойдем до конца таблицыпустой ячейки. Обычно поиск продолжаетсяПри <tex> i = 2 </tex> получаем <tex> h(14, начиная 2) = (h_1(14) + 2\cdot h_2(14)) \bmod 13 = 9 </tex>. Ячейка с другого конца. Однакономером 9 свободна, если мы придём в ту ячейку, откуда начинался поиск, то добавить элемент в текущую таблицу будет невозможно и необходимо провести операцию перехешированиязначит записываем туда наш ключ.
Если не осталось свободных Таким образом, основная особенность двойного хеширования состоит в том, что при различных <tex> k </tex> пара <tex> (h_1(k),h_2(k)) </tex> дает различные последовательности ячеек то требуется увеличить размер хеш таблицыдля исследования.
== Проверка наличия элемента в таблице=Простая реализация===Пусть у нас есть некоторый объект <tex> item </tex>, в котором определено поле <tex> key </tex>, от которого можно вычислить хеш-функции <tex> h_1(key)</tex> и <tex> h_2(key) </tex>
Проверка осуществляется аналогично добавлениюТак же у нас есть таблица <tex> table </tex> величиной <tex> m </tex>, состоящая из объектов типа <tex> item </tex>. '''Вставка''' '''function''' add('''Item''' item): x = h1(item.key) y = h2(item.key) '''for''' (i = 0..m) '''if''' table[x] == ''null'' table[x] = item '''return''' x = (x + y) '''mod''' m table.resize()<span style="color: мы проверяем ячейку Green">// ошибка, требуется увеличить размер таблицы '''Поиск''' '''Item''' search('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for''' (i = 0..m) '''if''' table[x] != ''null'' '''if''' table[x].key == key '''return''' table[x] '''else''' '''return''' ''null'' x = (x + y) '''mod''' m '''return''' ''null'' ===Реализация с удалением===Чтобы наша хеш-таблица поддерживала удаление, требуется добавить массив <tex>deleted</tex> типов <tex>bool</tex>, равный по величине массиву <tex>itable</tex> . Теперь при удалении мы просто будем помечать наш объект ''как удалённый'', а при добавлении как ''не удалённый'' и другиезамещать новым добавляемым объектом. При поиске, помимо равенства ключей, мы смотрим, удалён ли элемент, если да, то идём дальше. '''Вставка''' '''function''' add('''Item''' item): x = h1(item.key) y = h2(item.key) '''for''' (i = 0..m) '''if''' table[x] == '''null''' '''or''' deleted[x] table[x] = item deleted[x] = '''false''' '''return''' x = (x + i * y) '''mod''' m table.resize()<span style="color:Green">// ошибка, требуется увеличить размер таблицы'''Поиск''' '''Item''' search('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for''' (i = 0..m) '''if''' table[x] != '''null''' '''if''' table[x].key == key '''and''' !deleted[x] '''return''' table[x] '''else''' '''return''' '''null''' x = (x + y) '''mod''' m '''return''' '''null''' '''Удаление''' '''function''' remove('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for''' (i = 0..m) '''if''' table[x] != '''null''' '''if''' table[x].key == key deleted[x] = '''true''' '''else''' '''return''' x = (x + y) '''mod''' m ==Альтернативная реализация метода цепочек==В Java 8 для разрешения коллизий используется модифицированный метод цепочек. Суть его заключается в соответствии том, что когда количество элементов в корзине превышает определенное значение, данная корзина переходит от использования связного списка к использованию [[АВЛ-дерево|сбалансированного дерева]]. Но данный метод имеет смысл лишь тогда, когда на элементах хеш-таблицы задан [[Отношение порядка|линейный порядок]]. То есть при использовании данный типа <tex>\mathbf{int}</tex> или <tex>\mathbf{double}</tex> имеет смысл переходить к дереву поиска, а при использовании каких-нибудь ссылок на объекты не имеет, так как они не реализуют нужный интерфейс. Такой подход позволяет улучшить производительность с выбранной стратегией<tex>O(n)</tex> до <tex>O(\log(n))</tex>. Данный способ используется в таких коллекциях как HashMap, пока не найдём искомый элемент или свободную ячейкуLinkedHashMap и ConcurrentHashMap.
== Проблемы закрытого хеширования ==[[Файл:Hashing_in_Java8.png|500px|Хеширование в Java 8.]]
Проблем две - крайне нетривиальное удаление элемента из таблицы и образование кластеров==См.также==Кластер - последовательность занятых клеток. Их наличие замедляет все операции с хеш-таблицей: при добавлении требуется перебирать всё больше элементов, при проверке тоже. Чем больше в таблице элементов, тем больше в ней кластеры и тем выше вероятность того, что добавляемый элемент попадёт в кластер.* [[Хеширование]]Для защиты от кластеризации используется * [[Двойное хешированиеХеширование_кукушки|двойное хешированиеХеширование кукушки]] и * [[Хеширование кукушкиИдеальное_хеширование|Идеальное хеширование кукушки]].
==ЛитератураИсточники информации ==* ТБакнелл Дж. М. «Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi», 2003* Кормен, ЧТомас Х. , Лейзерсон, РЧарльз И. , Ривест, АлгоритмыРональд Л., Штайн Клиффорд «Алгоритмы: построение и анализанализ», 2-е издание, . Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2005 год2010.— Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г.{{---}} ISBN 0-201-89685-0* Седжвик Р. «Фундаментальные алгоритмы на C. Части 1-4. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск», стр2003* [http://openjdk.java.net/jeps/180 Handle Frequent HashMap Collisions with Balanced Trees]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Double_hashing Wikipedia {{---}} Double_hashing]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B5%D1%88-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0 Разрешение коллизий]* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/hashtables/hash-2001-2 Пример хеш таблицы]* [http://research.cs.vt.edu/AVresearch/hashing/double. 282php Пример хеш таблицы с двойным хешированием]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Хеширование]]
[[Категория: Структуры данных]]
Zhelenskiy
1
правка
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/22616...68142»

Навигация