Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Разрешение коллизий

7182 байта добавлено, 23:30, 3 января 2019
Линейное разрешение коллизий
{{Определение'''Разрешение [[Хеш-таблица|коллизий]]''' (англ. collision resolution) в [[Хеш-таблица|definition=Коллизия хеш-функции — таблице]], задача, решаемая несколькими способами: метод цепочек, открытая адресация и т.д. Очень важно сводить количество коллизий к минимуму, так как это равенство значений увеличивает время работы с хеш-таблицами.  == Разрешение коллизий с помощью цепочек ==[[Файл:open_hash.png|thumb|380px|right|Разрешение коллизий при помощи цепочек.]]Каждая ячейка <tex>i</tex> массива <tex>H</tex> содержит указатель на начало [[Список|списка]] всех элементов, хеш-функции код которых равен <tex>i</tex>, либо указывает на двух различных блоках данныхих отсутствие. Коллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента.}}
'''Разрешение коллизий''' в хеш-таблицеВ зависимости от того нужна ли нам уникальность значений операции вставки у нас будет работать за разное время. Если не важна, задачато мы используем список, решаемая несколькими способамивремя вставки в который будет в худшем случае равна <tex>O(1)</tex>. Можно использовать спискиИначе мы проверяем есть ли в списке данный элемент, а можно открытую адресациюпотом в случае его отсутствия мы его добавляем.В таком случае вставка элемента в худшем случае будет выполнена за <tex>O(n)</tex>
При использовании списков особых проблем не возникаетВремя работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка, так как там а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в каждой ячейке хранится одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex> плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов. При добавлении необходимо просто добавить элемент в начало списка.
При открытой адресации будет иначе: в каждой ячейке хеш-таблицы хранится только один элемент. Тогда при добавленииУдаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, если ячейка свободна, мы просто записываем добавляемый элемент в эту ячейку. Однако если эта ячейка занята {{---}} необходимо поместить добавляемый элемент в какую-нибудь другую свободную ячейку. Такие ситуации нередки, так как невозможно использовать хеш-функциюи вставка, не дающую коллизий, а каждой ячейке таблицы соответствует одно значение хеш-функции. Далее мы рассмотрим несколько стратегий поиска свободного места в данном случаепри использовании двухсвязного списка.
== Линейное разрешение коллизий ==[[Файл:close_hash.png|thumb|380px|right|Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.]]Все элементы хранятся непосредственно в хеш-таблице, без использования связных списков. В отличие от хеширования с цепочками, при использовании этого метода может возникнуть ситуация, когда хеш-таблица окажется полностью заполненной, следовательно, будет невозможно добавлять в неё новые элементы. Так что при возникновении такой ситуации решением может быть динамическое увеличение размера хеш-таблицы, с одновременной её перестройкой. === Стратегии поиска ===
''' Последовательный поиск '''
По сути последовательный поиск - частный случай линейного, где <tex>q=1</tex>.
[[Файл:hashtables2Hashtables56.pngPNG|400px|Линейный поиск с шагом q.]]
''' Квадратичный поиск '''
[[Файл:hashtables3.png|400px|Квадратичный поиск.]]
=== Проверка наличия элемента в таблице===
Проверка осуществляется аналогично добавлению: мы проверяем ячейку <tex>i</tex> и другие, в соответствии с выбранной стратегией, пока не найдём искомый элемент или свободную ячейку.
При поиске элемента может получится так, что мы дойдём до конца таблицы. Обычно поиск продолжается, начиная с другого конца, пока мы не придём в ту ячейку, откуда начинался поиск.
=== Проблемы данных стратегий === Проблем две — крайне нетривиальное удаление элемента из таблицы и образование кластеров — последовательностей занятых ячеек. Кластеризация замедляет все операции с хеш-таблицей: при добавлении требуется перебирать всё больше элементов, при проверке тоже. Чем больше в таблице элементов, тем больше в ней кластеры и тем выше вероятность того, что добавляемый элемент попадёт в кластер.Для защиты от кластеризации используется двойное хеширование и [[Хеширование кукушки|хеширование кукушки]]. === Удаление элемента без пометок === Рассуждение будет описывать случай с линейным поиском хеша. Будем при удалении элемента сдвигать всё последующие на <tex>q</tex> позиций назад. При этом:* если в цепочке встречается элемент с другим хешем, то он должен остаться на своём месте (такая ситуация может возникнуть если оставшаяся часть цепочки была добавлена позже этого элемента)* в цепочке не должно оставаться "дырок", тогда любой элемент с данным хешем будет доступен из начала цепи Учитывая это будем действовать следующим образом: при поиске следующего элемента цепочки будем пропускать все ячейки с другим значением хеша, первый найденный элемент копировать в текущую ячейку, и затем рекурсивно его удалять. Если такой следующей ячейки нет, то текущий элемент можно просто удалить, сторонние цепочки при этом не разрушатся (чего нельзя сказать про случай квадратичного поиска).  ''' Псевдокод '''  '''function''' delete('''Item''' i): j = i + q '''while''' table[j] == ''null'' '''or''' table[j].key != table[i].key '''if''' table[j] == ''null'' table[i] = ''null'' '''return''' j += q table[i] = table[j] delete(j)  Хеш-таблицу считаем зацикленной 
Проблем две — крайне нетривиальное удаление элемента из таблицы и образование кластеров.{{Утверждение|about=о времени работы|statement=Асимптотически время работы <tex>\mathrm{delete}</tex> и <tex>\mathrm{Определениеfind}</tex> совпадают|definitionproof=Кластер — последовательность занятых клетокЗаметим что указатель <tex>j</tex> в каждой итерации перемещается вперёд на <tex>q</tex> (с учётом рекурсивных вызовов <tex>\mathrm{delete}</tex>). То есть этот алгоритм последовательно пройдёт по цепочке от удаляемого элемента до последнего {{---}} с учётом вызова <tex>\mathrm{find}</tex> собственно для нахождения удаляемого элемента, мы посетим все ячейки цепи.
}}
Кластеризация замедляет все операции Вариант с зацикливанием мы не рассматриваем, поскольку если <tex>q</tex> взаимнопросто с размером хеш-таблицей: при добавлении таблицы, то для зацикливания в ней вообще не должно быть свободных позиций  Теперь докажем почему этот алгоритм работает. Собственно нам требуется перебирать сохранение трёх условий.* В редактируемой цепи не остаётся дырокДокажем по индукции. Если на данной итерации мы просто удаляем элемент (база), то после него ничего нет, всё больше элементовверно. Если же нет, при проверке тожето вызванный в конце <tex>\mathrm{delete}</tex> (см. Чем больше псевдокод) заметёт созданную дыру (скопированный элемент), и сам, по предположению, новых не создаст.* Элементы, которые уже на своих местах, не должны быть сдвинуты.Это учтено.* В других цепочках не появятся дырыПротивное возможно только в таблице элементовтом случае, тем больше если какой-то элемент был действительно удалён. Удаляем мы только последнюю ячейку в ней кластеры цепи, и тем выше вероятность тогоесли бы на её месте возникла дыра для сторонней цепочки, это бы означало что добавляемый элемент попадёт в кластер.Для защиты от кластеризации используется Двойное хеширование , стоящий на <tex>q</tex> позиций назад, одновременно принадлежал нашей и [[Хеширование кукушки|хеширование кукушки]]другой цепочкам, что невозможно.
==Двойное хеширование==
'''Двойное хеширование''' (англ. double hashing) {{---}} метод борьбы с коллизиями, возникающими при открытой адресации, основанный на использовании двух хеш-функций для построения различных последовательностей исследования хеш-таблицы.
===Принцип двойного хеширования===
При двойном хешировании используются две независимые хеш-функции <tex> h_1(k) </tex> и <tex> h_2(k) </tex>. Пусть <tex> k </tex> {{---}} это наш ключ, <tex> m </tex> {{---}} размер нашей таблицы, <tex>n \mod bmod m </tex> {{---}} остаток от деления <tex> n </tex> на <tex> m </tex>, тогда сначала исследуется ячейка с адресом <tex> h_1(k) </tex>, если она уже занята, то рассматривается <tex> (h_1(k) + h_2(k)) \mod bmod m </tex>, затем <tex> (h_1(k) + 2 \cdot h_2(k)) \mod bmod m </tex> и так далее. В общем случае идёт проверка последовательности ячеек <tex> (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \mod bmod m </tex> где <tex> i = (0, 1, \; ... \;, m - 1) </tex>
Таким образом, операции вставки, удаления и поиска в лучшем случае выполняются за <tex>O(1)</tex>, в худшем {{---}} за <tex>O(m)</tex>, что не отличается от обычного [[Открытое_и_закрытое_хеширование#Линейное разрешение коллизий|линейного разрешения коллизий]].
Есть два удобных способа это сделать. Первый состоит в том, что в качестве размера таблицы используется простое число, а <tex> h_2 </tex> возвращает натуральные числа, меньшие <tex> m </tex>. Второй {{---}} размер таблицы является степенью двойки, а <tex> h_2 </tex> возвращает нечетные значения.
Например, если размер таблицы равен <tex> m </tex>, то в качестве <tex> h_2 </tex> можно использовать функцию вида <tex> h_2(k) = k \mod bmod (m-1) + 1 </tex>
[[Файл: Вставка при двойном хэшировании.svg.jpeg|thumb|right|Вставка при двойном хешировании]]
<center>
<tex> h(k,i) = (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \mod bmod 13 </tex>
</center>
<center>
<tex> h_1(k) = k \mod bmod 13 </tex>
</center>
<center>
<tex> h_2(k) = 1 + k \mod bmod 11 </tex>
</center>
Мы хотим вставить ключ 14. Изначально <tex> i = 0 </tex>. Тогда <tex> h(14,0) = (h_1(14) + 0\cdot h_2(14)) \mod bmod 13 = 1 </tex>. Но ячейка с индексом 1 занята, поэтому увеличиваем <tex> i </tex> на 1 и пересчитываем значение хеш-функции. Делаем так, пока не дойдем до пустой ячейки. При <tex> i = 2 </tex> получаем <tex> h(14,2) = (h_1(14) + 2\cdot h_2(14)) \mod bmod 13 = 9 </tex>. Ячейка с номером 9 свободна, значит записываем туда наш ключ.
Таким образом, основная особенность двойного хеширования состоит в том, что при различных <tex> k </tex> пара <tex> (h_1(k),h_2(k)) </tex> дает различные последовательности ячеек для исследования.
'''Вставка'''
<pre> '''function''' add('''Item''' item): x = h1(item.key) y = h2(item.key) '''for ''' (i = 0; i < ..m; i++) '''if ''' table[x] == ''null'' table[x] = item '''return ''' x = (x + y) '''mod ''' m table.resize() <span style="color:Green">//ошибка, требуется увеличить размер таблицы</pre>
'''Поиск'''
<pre> '''Item''' search('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for ''' (i = 0; i < ..m; i++) '''if ''' table[x] != ''null'' '''if ''' table[x].key == key '''return ''' table[x] '''else''' '''return ''' ''null'' x = (x + y) '''mod ''' m '''return ''' ''null</pre>''
===Реализация с удалением===
Что бы Чтобы наша хеш-таблица поддерживала удаление, требуется добавить массив <tex>deleted</tex> типов <tex>bool</tex>, равный по величине массиву <tex>table</tex>. Теперь при удалении мы просто будем помечать наш объект ''как удалённый'', а при добавлении как ''не удалённый'' и замещать новым добавляемым объектом. При поиске, помимо равенства ключей, мы смотрим, удалён ли элемент, если да, то идём дальше.
'''Вставка'''
<pre> '''function''' add('''Item''' item): x = h1(item.key) y = h2(item.key) '''for ''' (i = 0; i < ..m; i++) '''if ''' table[x] == '''null || ''' '''or''' deleted[x] table[x] = item deleted[x] = '''false''' '''return ''' x = (x + i * y) '''mod ''' m table.resize() <span style="color:Green">//ошибка, требуется увеличить размер таблицы</pre> 
'''Поиск'''
<pre> '''Item''' search('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for ''' (i = 0; i < ..m; i++) '''if ''' table[x] != '''null''' '''if ''' table[x].key == key && '''and''' !deleted[x] '''return ''' table[x] '''else''' '''return ''' '''null''' x = (x + y) '''mod ''' m '''return ''' '''null</pre>'''
'''Удаление'''
<pre> '''function''' remove('''Item''' key): x = h1(key) y = h2(key) '''for ''' (i = 0; i < ..m; i++) '''if ''' table[x] != '''null''' '''if ''' table[x].key == key deleted[x] = '''true''' '''else ''' '''return''' x = (x + y) '''mod ''' m</pre> == Разрешение коллизий с помощью списков == Каждая ячейка <tex>i</tex> массива <tex>H</tex> содержит указатель на начало списка всех элементов, хеш-код которых равен <tex>i</tex>, либо указывает на их отсутствие. Коллизии приводят к тому, что появляются списки размером больше одного элемента. Время, необходимое для вставки в наихудшем случае равно <tex>O(1)</tex>. Это операция выполняет быстро, так как считается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице, но если потребуется, то перед вставкой мы можем выполнить поиск этого элемента.
==Альтернативная реализация метода цепочек==В Java 8 для разрешения коллизий используется модифицированный метод цепочек. Суть его заключается в том, что когда количество элементов в корзине превышает определенное значение, данная корзина переходит от использования связного списка к использованию [[Файл:open_hashАВЛ-дерево|сбалансированного дерева]].pngНо данный метод имеет смысл лишь тогда, когда на элементах хеш-таблицы задан [[Отношение порядка|420px|Разрешение коллизий линейный порядок]]. То есть при использовании данный типа <tex>\mathbf{int}</tex> или <tex>\mathbf{double}</tex> имеет смысл переходить к дереву поиска, а при помощи цепочекиспользовании каких-нибудь ссылок на объекты не имеет, так как они не реализуют нужный интерфейс. Такой подход позволяет улучшить производительность с <tex>O(n)</tex> до <tex>O(\log(n))</tex>. Данный способ используется в таких коллекциях как HashMap, LinkedHashMap и ConcurrentHashMap.]]
Время работы поиска [[Файл:Hashing_in_Java8.png|500px|Хеширование в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex> плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов. Удаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, как и вставка, при использовании двухсвязного спискаJava 8.]]
==См. также==
* [[Хеширование]]
* [[Хеширование_кукушки|Хеширование кукушки]]
* [[Идеальное_хеширование|Идеальное хеширование]]
== Литература Источники информации ==* Бакнелл Дж. М. '''Фундаментальные «Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi'''Delphi», ''2003''* Кнут ДКормен, Томас Х. Э, Лейзерсон, Чарльз И. '''Искусство программирования, том 3Ривест, Рональд Л. Сортировка , Штайн Клиффорд «Алгоритмы: построение и поиск'''анализ», ''2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2000''2010.— Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)* Томас КорменДональд Кнут. «Искусство программирования, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайнтом 3. '''Алгоритмы. Построение Сортировка и анализ'''поиск» {{---}} «Вильямс», ''2010''2007 г.{{---}} ISBN 0-201-89685-0* Седжвик Р. '''Фундаментальные «Фундаментальные алгоритмы на C. Части 1-4. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск'''Поиск», ''2003'' ==Ссылки==* [http://openjdk.java.net/jeps/180 Handle Frequent HashMap Collisions with Balanced Trees]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Double_hashing Wikipedia {{---}} Double_hashing]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B5%D1%88-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D0%B0 Разрешение коллизий]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Хеширование]]
[[Категория: Структуры данных]]
1
правка

Навигация