Изменения
Нет описания правки
== Основные определения ==
{{Определение
|definition= '''Рекурсивный язык''' (англ. ''recursive language'') <tex>L</tex> {{---}} язык, для которого существует программа <tex>p : \forall w \in L \Rightarrow p(w) = 1, \forall w \notin L \Rightarrow p(w) = 0</tex>.}} Если мы рассматриваем язык <tex>L</tex> как проблему, то проблема называется ''разрешимой'', если язык <tex>L</tex> ''рекурсивный''. В противном случае проблема называется ''неразрешимой''. Но часто данные понятия просто отождествляются.
}}
{{Определение
|definition = Функция Язык <tex>f : N \rightarrow N \cup \lbrace \bot \rbraceL</tex> называется '''вычислимой''' (англ. 'разрешимым'computable''), если существует программа такая [[Вычислимые функции | вычислимая]] функция <tex>p f : \forall n Sigma^* \in D(f) to \Rightarrow p(n) = f(n){0, 1\forall n } : x \in L \notin D(Leftrightarrow f) \Rightarrow p(nx) = \bot 1</tex>.
}}
Если мы рассматриваем язык <tex>L</tex> как проблему, то проблема называется ''разрешимой'', если язык <tex>L</tex> ''рекурсивный''. В противном случае проблема называется ''неразрешимой''. Но часто данные понятия просто отождествляются.
{{Определение
|definition = Язык <tex>L</tex> называется ''разрешимым'Класс всех разрешимых (рекурсивных) языков''' (англ. ''Class of decidable (recursive) languages'', если существует такая функция ) часто обозначается буквой <tex>f : \Sigma^* \to mathrm{0, 1R} : x \in L \leftrightarrow f(x) = 1</tex> {{---}} вычислима.
}}
{{Определение
|id=uni
|definition='''Универсальный язык''' (англ. ''universal language'') <tex>\ U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} </tex>.
}}
{{Лемма
|statement=
Существует [[Отображения#Свойства отображений | биекция]] между строками и натуральными числами.
|proof=
Приведем пример такой биекции: занумеруем подряд все строки длины <tex>1</tex>, затем все строки длины <tex>2</tex> и так далее {{---}} нумерация названий столбцов в <tex>Excel</tex>, таким образом, каждому натуральному числу соответствует некоторая строка и наоборот.
}}
Биекция между строками и натуральными числами нам нужна, чтобы передавать пары "текст программы, текст входных данных" в качестве аргументов функций. Передавать можно в следующем виде:
<tex>2^{\mathtt{code}} \cdot 3^{\mathtt{input}}</tex>, где <tex>\mathtt{code}, \ \mathtt{input}</tex> {{---}} есть натуральные числа, соответствующие тексту программы и тексту входных данных соответственно.
Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
== Примеры разрешимых множеств ==
{{Утверждение
|id=st1
|statement=
|proof=
Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел:
<tex>p(i){: } </tex> '''if''' <tex>i \mathrm{if} \ i \ mod bmod \ 2 == 0 </tex> <tex>\mathrm{ '''return} \ ''' 1 </tex> <tex>\mathrm{ '''else} </tex>''' <tex>\mathrm{ '''return} \ ''' 0 </tex>
Заметим, что программа нигде не может зависнуть.
}}
{{ЛеммаУтверждение|statement=Множество всех рациональных чисел, меньших числа <tex>e</tex> (основания натуральных логарифмов) или <tex>\pi</tex>, разрешимо.|proof= Для чисел <tex>e, \ \pi</tex> существуют различные техники нахождения их точного представления, одна их которых описана в статье<ref>[http://www.mathpropress.com/stan/bibliography/spigot.pdf «A Spigot Algorithm for the Digits of Pi»]</ref>, таким образом, возможно получить необходимый знак чисел <tex>e, \ \pi</tex> за конечное время. Десятичное представление рационального числа <tex>r</tex> может быть получено с любой точностью. Приведем программу, разрешающую данную проблему для числа <tex>e</tex>: <tex>p(r) {:} </tex> '''if''' (<tex>r</tex> < 2) '''return''' 1 '''if''' (<tex>r</tex> > 3) '''return''' 0 '''for''' (i = 1 .. <tex>\infty </tex>) '''if''' (getDigit(<tex>e</tex>, i) > getDigit(<tex>r</tex>, i)) <font color="green">// getDigit {{---}} функция, которая получает i-ую цифру вещественной части переданного числа</font> '''return''' 1 '''if''' (getDigit(<tex>e</tex>, i) < getDigit(<tex>r</tex>, i)) '''return''' 0Так как число <tex>e</tex> иррационально, то ответ будет найден за конечное время.}} {{Утверждение|statement=Множество тех <tex>n</tex>, для которых в числе <tex>\pi</tex> есть не менее <tex>n</tex> девяток подряд, разрешимо.|proof=Предположим, что в числе <tex>\pi</tex> встречается <tex>k</tex> девяток подряд, тогда, логично, что встречается и любое число девяток меньших <tex>k</tex>.Рассмотрим все программы семейства: <tex>p_0(i) {:} </tex> '''return''' 1 <tex>p_1(i) {:} </tex> '''if''' <tex>i < 1 </tex> '''return''' 1 '''else''' '''return''' 0 <tex>p_2(i) {:} </tex> '''if''' <tex>i < 2 </tex> '''return''' 1 '''else''' '''return''' 0 <tex>\dots</tex> <tex>p_k(i) {:} </tex> '''if''' <tex>i < k </tex> '''return''' 1 '''else''' '''return''' 0 <tex>\dots</tex> По доказанному выше, какая-то программа из этого семейства будет разрешителем для искомого множества. Значит, искомое множество разрешимо.}} == Примеры неразрешимых множеств == {{Утверждение
|id=st1
|statement=
Универсальный язык неразрешим.
Приведём доказательство от противного.
Пусть язык <tex>U</tex> разрешим, тогда существует программа <tex> u </tex> : <tex> \forall \langle p, x \rangle \in U \Rightarrow u(\langle p, x \rangle) = \begin{cases}1</tex>, <tex> \forall \langle p, x \rangle \notin in U \Rightarrow u(\0, \ \langle p, x \rangle) = 0\notin U\end{cases}</tex>.
Составим следующую программу:
<tex>r(x){:} </tex> '''if''' <tex> \mathrm{if} \ u(\langle x, x \rangle) == 1 </tex> <tex>\mathrm{ '''while} \ ''' ''true </tex>'' <tex> \mathrm{ '''else} </tex>''' <tex>\mathrm{ '''return} \ ''' 1 </tex>
Рассмотрим вызов <tex> r(r) </tex>:
Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.
===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.Допустим, что язык разрешим. Тогда напишем такую программу: <tex>p(x){:}</tex> '''if''' <tex>u(\mathrm{getSrc()}, x)</tex> '''while''' ''true'' '''else''' '''return''' 1 Если <tex> u(p, x) = 1 </tex>, тогда программа <tex> p </tex> на входе <tex> x </tex> должна вернуть <tex> 1 </tex>, но по условию <tex>\mathrm{if} </tex> она зависает, а следовательно, не принадлежит универсальному языку. Если же <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, то мы пойдём во вторую ветку условного оператора и вернём <tex> 1 </tex>, значит, пара <tex> \langle p, x \rangle </tex> принадлежит универсальному языку, но <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, значит, пара не принадлежит. Опять получили противоречие. == Примечания == <references />
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_language Wikipedia — Recursive language]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA Википедия — Рекурсивный язык]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
