Разрешимые (рекурсивные) языки — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показана 21 промежуточная версия 5 участников)
Строка 30: Строка 30:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
Существует биекция между строками и натуральными числами.
+
Существует [[Отображения#Свойства отображений | биекция]] между строками и натуральными числами.
 
|proof=
 
|proof=
Приведем пример такой биекции:
+
Приведем пример такой биекции: занумеруем подряд все строки длины <tex>1</tex>, затем все строки длины <tex>2</tex> и так далее {{---}} нумерация названий столбцов в <tex>Excel</tex>, таким образом, каждому натуральному числу соответствует некоторая строка и наоборот.  
 
 
Занумеруем подряд все строки длинны <tex>1</tex>, затем все строки длинны <tex>2</tex> и так далее {{---}} нумерация названий столбцов в <tex>Excel</tex>, таким образом, каждому натуральному числу соответствует некоторая строка и наоборот.  
 
 
}}
 
}}
  
 
Биекция между строками и натуральными числами нам нужна, чтобы передавать пары "текст программы, текст входных данных" в качестве аргументов функций. Передавать можно в следующем виде:  
 
Биекция между строками и натуральными числами нам нужна, чтобы передавать пары "текст программы, текст входных данных" в качестве аргументов функций. Передавать можно в следующем виде:  
  
<tex>2^{\mathrm{code}} \cdot 3^{\mathrm{input}}</tex>, где <tex>code, \ input</tex> {{---}} есть натуральные числа, соотвествующие тексту программы и тексту входных данных соответственно.
+
<tex>2^{\mathtt{code}} \cdot 3^{\mathtt{input}}</tex>, где <tex>\mathtt{code}, \ \mathtt{input}</tex> {{---}} есть натуральные числа, соответствующие тексту программы и тексту входных данных соответственно.
  
 
Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
 
Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
  
== Примеры разрешимых множества ==
+
== Примеры разрешимых множеств ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|id=st1
 
|id=st1
Строка 93: Строка 91:
  
 
  <tex>p_1(i) {:} </tex>
 
  <tex>p_1(i) {:} </tex>
   '''if''' <tex>i \leqslant 1 </tex>
+
   '''if''' <tex>i < 1 </tex>
 
     '''return''' 1
 
     '''return''' 1
 
   '''else'''
 
   '''else'''
Строка 99: Строка 97:
  
 
  <tex>p_2(i) {:} </tex>   
 
  <tex>p_2(i) {:} </tex>   
   '''if''' <tex>i \leqslant k </tex>
+
   '''if''' <tex>i < 2 </tex>
 
     '''return''' 1
 
     '''return''' 1
 
   '''else'''
 
   '''else'''
Строка 107: Строка 105:
  
 
  <tex>p_k(i) {:} </tex>   
 
  <tex>p_k(i) {:} </tex>   
   '''if''' <tex>i \leqslant k </tex>
+
   '''if''' <tex>i < k </tex>
 
     '''return''' 1
 
     '''return''' 1
 
   '''else'''
 
   '''else'''
Строка 117: Строка 115:
 
}}
 
}}
  
== Примеры неразрешимых множества ==
+
== Примеры неразрешимых множеств ==
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 123: Строка 121:
 
|statement=
 
|statement=
 
Универсальный язык неразрешим.
 
Универсальный язык неразрешим.
|proof=
+
}}
 +
===Доказательство===
 
Приведём доказательство от противного.
 
Приведём доказательство от противного.
  
Строка 148: Строка 147:
  
 
Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.
 
Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.
}}
+
 
 +
===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===
 +
По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы.
 +
Допустим, что язык разрешим. Тогда напишем такую программу:
 +
 
 +
  <tex>p(x){:}</tex>
 +
    '''if''' <tex>u(\mathrm{getSrc()}, x)</tex>
 +
      '''while''' ''true''
 +
    '''else'''
 +
      '''return''' 1
 +
 
 +
 
 +
Если <tex> u(p, x) = 1 </tex>, тогда программа <tex> p </tex> на входе <tex> x </tex> должна вернуть <tex> 1 </tex>, но по условию <tex>\mathrm{if} </tex> она зависает, а следовательно, не принадлежит универсальному языку.
 +
 
 +
Если же <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, то мы пойдём во вторую ветку условного оператора и вернём <tex> 1 </tex>, значит, пара <tex>
 +
\langle p, x \rangle </tex> принадлежит универсальному языку, но <tex> u(p, x) \neq 1 </tex>, значит, пара не принадлежит. Опять получили противоречие.
  
 
== Примечания ==  
 
== Примечания ==  

Текущая версия на 01:07, 12 апреля 2018

Основные определения[править]

Определение:
Рекурсивный язык (англ. recursive language) [math]L[/math] — язык, для которого существует программа [math]p(w) = \begin{cases} 1, \ w \in L \\ 0, \ w \notin L \end{cases} [/math]


Определение:
Язык [math]L[/math] называется разрешимым, если существует такая вычислимая функция [math]f : \Sigma^* \to \{0, 1\} : x \in L \Leftrightarrow f(x) = 1[/math].

Если мы рассматриваем язык [math]L[/math] как проблему, то проблема называется разрешимой, если язык [math]L[/math] рекурсивный. В противном случае проблема называется неразрешимой. Но часто данные понятия просто отождествляются.


Определение:
Класс всех разрешимых (рекурсивных) языков (англ. Class of decidable (recursive) languages) часто обозначается буквой [math] \mathrm{R} [/math].


Определение:
Универсальный язык (англ. universal language) [math] \ U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} [/math].


Другими словами, универсальный язык — это язык всех таких пар "программа и её вход", что программа на входе возвращает [math]1[/math].

Рассмотрим данное определение более детально, для чего докажем вспомогательную лемму:

Лемма:
Существует биекция между строками и натуральными числами.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Приведем пример такой биекции: занумеруем подряд все строки длины [math]1[/math], затем все строки длины [math]2[/math] и так далее — нумерация названий столбцов в [math]Excel[/math], таким образом, каждому натуральному числу соответствует некоторая строка и наоборот.
[math]\triangleleft[/math]

Биекция между строками и натуральными числами нам нужна, чтобы передавать пары "текст программы, текст входных данных" в качестве аргументов функций. Передавать можно в следующем виде:

[math]2^{\mathtt{code}} \cdot 3^{\mathtt{input}}[/math], где [math]\mathtt{code}, \ \mathtt{input}[/math] — есть натуральные числа, соответствующие тексту программы и тексту входных данных соответственно.

Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом [math]\Sigma[/math].

Примеры разрешимых множеств[править]

Утверждение:
Язык чётных чисел разрешим.
[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел:

[math]p(i) {:} [/math]
  if [math]i \ \bmod \ 2 == 0 [/math]
    return 1
  else
    return 0
Заметим, что программа нигде не может зависнуть.
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
Множество всех рациональных чисел, меньших числа [math]e[/math] (основания натуральных логарифмов) или [math]\pi[/math], разрешимо.
[math]\triangleright[/math]

Для чисел [math]e, \ \pi[/math] существуют различные техники нахождения их точного представления, одна их которых описана в статье[1], таким образом, возможно получить необходимый знак чисел [math]e, \ \pi[/math] за конечное время.

Десятичное представление рационального числа [math]r[/math] может быть получено с любой точностью.

Приведем программу, разрешающую данную проблему для числа [math]e[/math]:

[math]p(r) {:} [/math]
  if ([math]r[/math] < 2)
    return 1
  if ([math]r[/math] > 3)
    return 0
  for (i = 1 .. [math]\infty [/math])  
    if (getDigit([math]e[/math], i) > getDigit([math]r[/math], i))  // getDigit — функция, которая получает i-ую цифру вещественной части переданного числа
      return 1
    if (getDigit([math]e[/math], i) < getDigit([math]r[/math], i))
      return 0
Так как число [math]e[/math] иррационально, то ответ будет найден за конечное время.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Множество тех [math]n[/math], для которых в числе [math]\pi[/math] есть не менее [math]n[/math] девяток подряд, разрешимо.
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что в числе [math]\pi[/math] встречается [math]k[/math] девяток подряд, тогда, логично, что встречается и любое число девяток меньших [math]k[/math]. Рассмотрим все программы семейства:

[math]p_0(i) {:} [/math]
  return 1
[math]p_1(i) {:} [/math]
  if [math]i \lt  1 [/math]
    return 1
  else
    return 0
[math]p_2(i) {:} [/math]  
  if [math]i \lt  2 [/math]
    return 1
  else
    return 0

[math]\dots[/math]

[math]p_k(i) {:} [/math]  
  if [math]i \lt  k [/math]
    return 1
  else
    return 0

[math]\dots[/math]

По доказанному выше, какая-то программа из этого семейства будет разрешителем для искомого множества. Значит, искомое множество разрешимо.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры неразрешимых множеств[править]

Утверждение:
Универсальный язык неразрешим.

Доказательство[править]

Приведём доказательство от противного.

Пусть язык [math]U[/math] разрешим, тогда существует программа

[math]u(\langle p, x \rangle) = \begin{cases} 1, \ \langle p, x \rangle \in U \\ 0, \ \langle p, x \rangle \notin U \end{cases} [/math]


Составим следующую программу:

[math]r(x) {:} [/math]
  if [math]u(\langle x, x \rangle) == 1 [/math]
    while true
  else
    return 1

Рассмотрим вызов [math] r(r) [/math]:

  • Eсли [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 [/math], то условие [math]\mathrm{if}[/math] выполнится и программа зависнет, но, так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 \Rightarrow r(r) = 1[/math];
  • Eсли [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 [/math], то условие [math]\mathrm{if}[/math] не выполнится и программа вернет [math]1[/math], но, так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 \Rightarrow r(r) \ne 1[/math].

Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.

Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии[править]

По теореме о рекурсии, программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию [math] \mathrm{getSrc()} [/math], которая вернёт строку — исходный код программы. Допустим, что язык разрешим. Тогда напишем такую программу:

 [math]p(x){:}[/math]
   if [math]u(\mathrm{getSrc()}, x)[/math]
     while true
   else
     return 1


Если [math] u(p, x) = 1 [/math], тогда программа [math] p [/math] на входе [math] x [/math] должна вернуть [math] 1 [/math], но по условию [math]\mathrm{if} [/math] она зависает, а следовательно, не принадлежит универсальному языку.

Если же [math] u(p, x) \neq 1 [/math], то мы пойдём во вторую ветку условного оператора и вернём [math] 1 [/math], значит, пара [math] \langle p, x \rangle [/math] принадлежит универсальному языку, но [math] u(p, x) \neq 1 [/math], значит, пара не принадлежит. Опять получили противоречие.

Примечания[править]

Источники информации[править]