Разрешимые (рекурсивные) языки

Материал из Викиконспекты
Версия от 01:51, 10 января 2015; 95.54.62.216 (обсуждение) (Примеры разрешимых множества)
Перейти к: навигация, поиск

Основные определения

Определение:
Рекурсивный язык (англ. recursive language) [math]L[/math] — язык, для которого существует программа [math]p(w) = \begin{cases} 1, \forall w \in L\\ 0, \forall w \notin L. \end{cases} [/math]


Определение:
Язык [math]L[/math] называется разрешимым, если существует такая вычислимая функция [math]f : \Sigma^* \to \{0, 1\} : x \in L \Leftrightarrow f(x) = 1[/math].

Если мы рассматриваем язык [math]L[/math] как проблему, то проблема называется разрешимой, если язык [math]L[/math] рекурсивный. В противном случае проблема называется неразрешимой. Но часто данные понятия просто отождествляются.


Определение:
Класс всех разрешимых (рекурсивных) языков (англ. Class of decidable (recursive) languages) часто обозначается буквой [math] \mathrm{R} [/math].


Определение:
Универсальный язык (англ. universal language) [math] \ U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} [/math].


Другими словами, универсальный язык — это язык всех пар "программа и её вход" таких, что программа на входе возвращает [math]1[/math].

Далее считаем, что входные данные программы и сама программа расположены над одним алфавитом [math]\Sigma[/math].

Так как программа — это набор строк, занумеровав которые, можем получить биекцию "число" [math]\to[/math] "строка"

Примеры разрешимых множества

Утверждение:
Язык чётных чисел разрешим.
[math]\triangleright[/math]

Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел:

[math]p(i) {:} [/math]
  if [math]i \ \bmod \ 2 == 0 [/math]
    return 1
  else
    return 0
Заметим, что программа нигде не может зависнуть.
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
Множество всех рациональных чисел, меньших числа [math]e[/math] (основания натуральных логарифмов) или [math]\pi[/math], разрешимо.
[math]\triangleright[/math]

Для чисел [math]e, \ \pi[/math] существуют различные техники нахождения их точного представления, одна их которых описана в статье[1] «A Spigot Algorithm for the Digits of Pi», таким образом, возможно получить необходимый знак чисел [math]e, \ \pi[/math] за конечное время.

Десятично представление рационального числа [math]r[/math] может быть получено с любой точностью.

Приведем программу, разрешающую данную проблему для числа [math]e[/math]:

[math]p(r) {:} [/math]
  if ([math]r[/math] < 2)
    return 1
  if ([math]r[/math] > 3)
    return 0
  for(i = 0;; ++i)  
    if (getDigit([math]e[/math], i) > getDigit([math]r[/math], i))
      return 1
    if (getDigit([math]e[/math], i) < getDigit([math]r[/math], i))
      return 0
Так как число e иррационально (не существует его рационального представления), то ответ будет найден.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры неразрешимых множества

Утверждение:
Универсальный язык неразрешим.
[math]\triangleright[/math]

Приведём доказательство от противного.

Пусть язык [math]U[/math] разрешим, тогда существует программа [math] u [/math] : [math] \forall \langle p, x \rangle \in U \Rightarrow u(\langle p, x \rangle) = 1[/math], [math] \forall \langle p, x \rangle \notin U \Rightarrow u(\langle p, x \rangle) = 0[/math].

Составим следующую программу:

[math]r(x) {:} [/math]
  if [math]u(\langle x, x \rangle) == 1 [/math]
    while (true)
  else
    return 1

Рассмотрим вызов [math] r(r) [/math]:

  • Eсли [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 [/math], то условие [math]\mathrm{if}[/math] выполнится и программа зависнет, но, так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 \Rightarrow r(r) = 1[/math];
  • Eсли [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 [/math], то условие [math]\mathrm{if}[/math] не выполнится и программа вернет [math]1[/math], но, так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 \Rightarrow r(r) \ne 1[/math].
Из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

  • http://www.mathpropress.com/stan/bibliography/spigot.pdf
  • Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Разрешимые_(рекурсивные)_языки&oldid=43870»