Изменения

|definition= Пусть дан [[Определение матроида|матроид]] <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>. '''Ранговая функция''' (англ. ''rank function'') <tex>r: A \in 2^X \to Z_+\mathbb{N}</tex> определяется как: <tex>r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}</tex>

Докажем свойство полумодулярности (англ: ''submodularity'') ранговой функции: <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex>. Для начала небольшая лемма.

|statement=Пусть дан матроид <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>, тогда <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex>

Далее дополним <tex>D_B</tex> элементами из <tex>A \cup B \setminus D_B</tex> до множества <tex>D_\cup : |D_\cup| = r(A \cup B), D_\cup \in I</tex>. Заметим, что на последнем шаге будут добавляться только элемента из <tex>A</tex>, т.к. пусть на том этапе мы взяли <tex>x \in B</tex>, тогда <tex>\{x\} \cup D_B \subset D_\cup, D_\cup \in I </tex>, следовательно <tex>\{x\} \cup D_B \in I</tex> (по [[Определение матроида|определению матроида]]), а также<tex>|\{x\} \cup D_B| = |D_B| + 1 = r(B) + 1</tex>, что невозможно по определению <tex>r</tex>.

(по [[Определение матроида|определению матроида]]), значит (по определению ранговой функции):

<tex>r(A) \ge geqslant |(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap| = |D_\cup| - |D_B| + |D_\cap|</tex>

<tex>r(A) + r(B) \ge geqslant r(A \cup B) + r(A \cap B) </tex>  Что и требовалось доказать.

|statement=Пусть дан матроид <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>, и <tex>r: A \in 2^X \to \{0\} \cup \mathbb{N}</tex> {{--- }} его ранговая функция. Тогда для любых <tex>A, B \in subseteq 2^X</tex> выполняется следующее: <br>1) #<tex> 0 \le leqslant r(A) \le leqslant |A| </tex> <br>2) #<tex> A \in subseteq B \to Rightarrow r(A) \le leqslant r(B) </tex> <br>3) #Неравенство полумодулярности: <tex>\forall A, B \subset X,</tex> <tex>r(A \cup B) + r(A \cap B) \le leqslant r(A) + r(B)</tex>

1) #Очевидно из определения: максимальное независимое подмножество по мощности не может быть больше самого множества и меньше нуля. <br>2) #Пусть <tex>C \in subseteq A</tex> {{--- }} максимальное независимое подмножество. Т.к. <tex>A \in subseteq B</tex>, то <tex>C \in subseteq B</tex> {{--- }} независимое подмножество. Поэтому <tex>r(B) \ge geqslant |C|</tex> по определению, а значит <tex>r(B) \ge geqslant r(A)</tex> <br>3) #Доказано выше.}}  ==См. также==*[[Теорема о циклах]]*[[Теорема о базах]]

== Литература Источники информации==''*Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{--- }} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2''' <br>''*Will Johnson'' {{--- }} Mathroids. June 3, 2009.