Ранговая функция, полумодулярность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема о рангах)
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition= Пусть дан [[Определение матроида|матроид]]  <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>. '''Ранговая функция''' (англ. ''rank function'') <tex>r: A \in 2^X \to \mathbb{N}</tex> определяется как: <tex>r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}</tex>
 
|definition= Пусть дан [[Определение матроида|матроид]]  <tex> M = \langle X, I \rangle</tex>. '''Ранговая функция''' (англ. ''rank function'') <tex>r: A \in 2^X \to \mathbb{N}</tex> определяется как: <tex>r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}</tex>

Версия 08:06, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.


Определение:
Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math]. Ранговая функция (англ. rank function) [math]r: A \in 2^X \to \mathbb{N}[/math] определяется как: [math]r(A) = \max \{ |B| : B \subset A, B \in I\}[/math]


Полумодулярность ранговой функции

Докажем свойство полумодулярности (англ: submodularity) ранговой функции: [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \leqslant r(A) + r(B)[/math]. Для начала небольшая лемма.

Лемма:
Дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math] и множество [math]A \subset X[/math]. Пусть также [math]B \subset A[/math], [math]B \in I[/math], тогда существует [math]D : B\subset D \subset A, D \in I, |D| = r(A)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]E[/math] — подмножество [math]A[/math] такое, что [math]r(A) = |E|, E \in I[/math] (по определению ранговой функции такое [math]E[/math] всегда существует).

Предположим, что лемма неверна и максимальное независимое подмножество, которое мы можем получить из [math]B[/math] добавляя элементы из [math]A[/math] — это [math]C[/math], причем [math]|C| \lt r(A)[/math]. Тогда имеем: [math]C \in I, E \in I, |C| \lt |E|[/math], следовательно существует элемент [math]x \in E \setminus C: C \cup \{x\} \in I[/math]. Заметим также что [math]|C \cup {x}| = |C| + 1 \gt |C|[/math] и [math]x \in A[/math], т.к. [math]E \setminus C \subset A[/math], [math]B \subset C \cup \{x\}[/math]. Итак пришли к противоречию, мы получили множество большее по мощности, чем [math]C[/math] такое, что [math]B \subset C \subset A, C \in I[/math], значит исходное предположение было не верно, и мы можем найти множество [math]D[/math] удовлетворяющее необходимым условиям.
[math]\triangleleft[/math]

Итак теперь мы готовы доказать свойство полумодулярности ранговой функции.

Теорема:
Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math], тогда [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \leqslant r(A) + r(B)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим множество [math]D_\cap \subset A \cap B : D_\cap \in I, |D_\cap| = r(A \cap B)[/math], такое всегда существует по определению [math]r[/math]. Дополним множество [math]D_\cap[/math] элементами из [math]B \setminus D_\cap[/math] до множества [math]D_B : |D_B| = r (B), D_B \in I[/math] (по лемме такое возможно).

Далее дополним [math]D_B[/math] элементами из [math]A \cup B \setminus D_B[/math] до множества [math]D_\cup : |D_\cup| = r(A \cup B), D_\cup \in I[/math]. Заметим, что на последнем шаге будут добавляться только элемента из [math]A[/math], т.к. пусть на том этапе мы взяли [math]x \in B[/math], тогда [math]\{x\} \cup D_B \subset D_\cup, D_\cup \in I [/math], следовательно [math]\{x\} \cup D_B \in I[/math] (по определению матроида), а также[math]|\{x\} \cup D_B| = |D_B| + 1 = r(B) + 1[/math], что невозможно по определению [math]r[/math].

Заметим также, что

[math](D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \subset A[/math], [math](D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap \in I[/math]

(по определению матроида), значит по определению ранговой функции:

[math]r(A) \geqslant |(D_\cup \setminus D_B) \cup D_\cap| = |D_\cup| - |D_B| + |D_\cap|[/math]

Заменяя мощности на ранги:

[math]r(A) + r(B) \geqslant r(A \cup B) + r(A \cap B) [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема о рангах

Теорема:
Пусть дан матроид [math] M = \langle X, I \rangle[/math], и [math]r: A \in 2^X \to \mathbb{N}[/math] — его ранговая функция. Тогда для любых [math]A, B \subseteq 2^X[/math] выполняется следующее:
  1. [math] 0 \leqslant r(A) \leqslant |A| [/math]
  2. [math] A \subseteq B \Rightarrow r(A) \leqslant r(B) [/math]
  3. Неравенство полумодулярности: [math]\forall A, B \subset X,[/math] [math]r(A \cup B) + r(A \cap B) \leqslant r(A) + r(B)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Очевидно из определения: максимальное независимое подмножество по мощности не может быть больше самого множества и меньше нуля.
  2. Пусть [math]C \subseteq A[/math] — максимальное независимое подмножество. Т.к. [math]A \subseteq B[/math], то [math]C \subseteq B[/math] — независимое подмножество. Поэтому [math]r(B) \geqslant |C|[/math] по определению, а значит [math]r(B) \geqslant r(A)[/math]
  3. Доказано выше.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
  • Will Johnson — Mathroids. June 3, 2009.