Просмотр исходного текста страницы Распространение интеграла на произвольные ограниченные фигуры

== Некоторые определения ==
{{Определение
|definition=
Фигура '''ограничена''', если её можно поместить в некоторый конечный прямоугольник.
}}

Будем рассматривать интеграл на '''фигуре''' <tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> от функции <tex>z = f(x, y)</tex>

<tex>\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}</tex>

<tex>\forall \Pi \supset E</tex>, <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f</tex>

Это легко проверить на основе аддитивноcти интеграла по прямоугольнику.

== Квадрируемость == 

{{Определение
|definition=
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
}}

Далее мы установим квадрируемость некоторых фигур.

{{Утверждение
|statement=
Любой прямоугольник квадрируем.
<tex>\iint\limits_\Pi 1 dx dy = |\Pi| = (b - a)(d - c)</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
Кривая <tex>\Gamma</tex> {{---}} Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений, и её параметрические уравнения {{---}} непрерывные функции.
}}

{{Лемма
|author=
Жордан
|statement=
Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на две части: ограниченную {{---}} 'внутреннюю' и неограниченную {{---}} 'внешнюю'.
}}

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура.
|proof=
Для доказательства надо погрузить фигуру в прямоугольник и доказать, что интеграл по нему от функции, равной <tex>1</tex> внутри фигуры и <tex>0</tex> вне фигуры, существует.
Для этого надо показать, что <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>.

Пусть <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} разбиение <tex>\Pi</tex>.

Разделим все клетки на три группы.
* <tex>1 : \Pi_{ij} \subset E</tex> (внутренние)
* <tex>2 : \Pi_{ij} \not\subset E</tex> (внешние)
* <tex>3</tex> {{---}} остальные(пересекающие) 

Обозначим за <tex>\Sigma_1</tex>, <tex>\Sigma_2</tex> и <tex>\Sigma_3</tex> суммы разностей сумм Дарбу для первой, второй и третьей групп соотвтственно.

Очевидно, каждая клетка попадёт ровно в одну из этих групп.

Тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3</tex>

На клетках первой группы <tex>\bar f = 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_1 = 0</tex>.

На клетках второй группы <tex>\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_2 = 0</tex>.

В третьей группе <tex>\sup\bar f = 1</tex>, <tex>\inf\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_3 = \sum\limits_{i, j} \Delta x_i \Delta y_j</tex>, где <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} в третьей группе.

<tex>\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)</tex>

<tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits_{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) </tex>

По определению ранга, принимая во внимание, что ранг {{---}} длина диагонали клетки,

<tex>\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}</tex>.

Но дуга спрямляемая, то есть, имеет конечную длину, поэтому, написанная сумма ограничена.

Тогда <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>
}}

Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что их границы {{---}} спрямляемые дуги.

== Неквадрируемые фигуры ==

Возникает вопрос: "а есть ли вообще неквадрируемые фигуры?". Легко понять, что они есть. Построим аналог функции Дирихле. 

Нужно взять прямоугольник и оставить только те точки, координаты которых рациональны. Эта фигура площади не имеет, ибо для каждой
точки найдётся точка рядом с ней такая, что хотя бы одна из её координат будет иррациональна. Поэтому, при построении разбиения, 
нижняя сумма будет нулевой, а верхняя будет равна <tex>S</tex>. Интеграла нет, фигура не квадрируема.

== Квадрируемость компакта ==

Имея понятие квадрируемости, можно писать условия существования интеграла уже через функцию <tex>f</tex>.

{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>.
|proof=
Функция непрерывна на компакте <tex>\Rightarrow</tex> равномерно непрерывна. 

Возьмём какой-то <tex>\Pi \supset E</tex> и составим для него разбиение и <tex>\omega(\bar f, \tau)</tex>.

Нужно показать, что тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.

Аналогично доказательству квадрируемости фигуры, разобьём все клетки на три типа:
<tex>\Sigma_1</tex> (внутри), <tex>\Sigma_2</tex> (пересекают) и <tex>\Sigma_3</tex> (вне).

Вторая сумма оценивается за счёт того, что функция ограничена: <tex>\Sigma_2 \leq 2 \cdot </tex> длину границы <tex> \cdot M</tex>. При <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0</tex> это стремится к нулю.

Оценим <tex>\Sigma_1</tex>. Из равномерной непрерывности, <tex>M_{ij} - m_{ij} < \varepsilon</tex>.

Сумма же площадей клеток не превзойдёт <tex>|\Pi|</tex>. Тогда <tex>\Sigma_1 < \varepsilon |\Pi| \to 0</tex>.

Значит, <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.
}}

== Аддитивность ==

{{Теорема
|about=аддитивность
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, не имеющих общих внутренних точек.
Тогда <tex> \exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f</tex> и <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f</tex>.
|proof=
Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику. 

<tex>E = E_1 \cup E_2</tex>, всё квадрируемо. 

<tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_1} f</tex>, 
<tex>\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_2} f</tex>

Пусть <tex>\Pi \supset E</tex>. Тогда этот <tex>\Pi</tex> годится для обоих интегралов. Следует обратить внимание на то, что <tex>\bar f</tex> для <tex>E_1</tex> и
<tex>\bar f</tex> для <tex>E_2</tex> {{---}} разные функции. Например, первая из них на <tex>E_2</tex> равна нулю, так как <tex>E_1 \cap E_2 = \varnothing</tex>.

Определим <tex>\bar f_1</tex> и <tex>\bar f_2</tex>.

<tex>\bar f_1(x, y) = \begin{cases}f(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y)  \notin E_1\\\end{cases}</tex>

Аналогично определим <tex>\bar f_2</tex>.

Тогда <tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_\Pi \bar f_1</tex>, <tex>\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi \bar f_2</tex>.

Сложим последние два равенства:

<tex>\iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)</tex>

Заметим, что <tex>\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f</tex>. Это проверяется простым рассмотрением точки внутри <tex>E_1</tex>, внутри <tex>E_2</tex> и вне <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>.

Значит, <tex>\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f</tex>
}}

=== Замечание ===
На самом деле, часто, имея в виду рассматриваемый случай, начинают говорить о так называемых 'финитных' функциях, то есть,
функциях, которые вне какого-то прямоугольника равны нулю. Их преимущество в том, что они заданы на всей плоскости.
Тогда, <tex>\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f = \iint\limits_\Pi f</tex>. Тогда всё можно выводить из линейности интеграла.

=== Обобщение === 

Обобщим предыдущую теорему на случай <tex>p</tex> частей. 

Пусть <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f</tex>
и <tex>|E_j| = \iint\limits_{E_j} dx dy</tex> {{---}} площадь.

Рассмотрим аналог интегральной суммы:

<tex>\sum\limits_{j = 1}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>, <tex>P_j \in E_j</tex>.

Далее можно называть совокупность таких частей разбиением <tex>E</tex>, замерить максимальный диаметр, назвать это рангом,
устремить его к нулю и ставить вопрос о пределе таких сумм, который не должен зависеть от выбора <tex>P_j</tex>.

Отличие данной суммы от суммы по прямоугольнику, содержащему <tex>E</tex> заключается в том, что эта сумма описана во 
внутренних терминах(снаружи от фигуры нет нуля). Здравый смысл подсказывает, что пределом таких сумм и будет искомый
интеграл. 

Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на <tex>E</tex>, это можно сравнивать с суммой интегралов по частям фигуры.

<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |p'' - p'| < \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex>

<tex>\operatorname{rang}\tau < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\operatorname{diam} E_j < \delta</tex> 
<tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall p'', p' \in E_j : |p'' - p'| < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>|f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex>

<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f - \sum\limits_{j = 1}^p f(P_j)\cdot|E_j| \right| \leq</tex>
<tex>\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} |f(P) - f(P_j)| dx dy \leq</tex> 
<tex>\varepsilon \sum\limits_{j = 1}^p |E_j| = \varepsilon |E| \to 0</tex>

Сумма интегралов <tex>=</tex> интеграл по фигуре <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>.

[[Категория:Математический анализ 1 курс]]