Расстояние Хэмминга — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Привет с матмеха :))
м
 
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Расстояние Хэмминга (Hamming distance)''' {{---}} число позиций, в которых различаются соответствующие символы двух строк одинаковой длины. }}
+
'''Расстояние Хэмминга''' (англ. ''Hamming distance'') {{---}} число позиций, в которых различаются соответствующие символы двух строк одинаковой длины. }}
 
В более общем случае расстояние Хэмминга применяется для строк одинаковой длины любых k-ичных алфавитов и служит [[Метрическое пространство#def1 | метрикой]] различия (функцией, определяющей расстояние в метрическом пространстве) объектов одинаковой размерности.
 
В более общем случае расстояние Хэмминга применяется для строк одинаковой длины любых k-ичных алфавитов и служит [[Метрическое пространство#def1 | метрикой]] различия (функцией, определяющей расстояние в метрическом пространстве) объектов одинаковой размерности.
[[Файл:Hamming.JPG|thumb|180px|3-битный бинарный куб для нахождения расстояния Хэмминга]]
 
  
 
==Пример==  
 
==Пример==  
Строка 15: Строка 14:
 
#<tex>~d(x, y) = 0 \iff x = y</tex> ''(Если расстояние от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> равно нулю, то <tex>x</tex> и <tex>y</tex> совпадают (<tex>x = y</tex>))''
 
#<tex>~d(x, y) = 0 \iff x = y</tex> ''(Если расстояние от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> равно нулю, то <tex>x</tex> и <tex>y</tex> совпадают (<tex>x = y</tex>))''
 
#<tex>~d(x,y)=d(y,x)</tex> ''(Объект <tex>x</tex> удален от объекта <tex>y</tex> так же, как объект <tex>y</tex> удален от объекта <tex>x</tex>)''
 
#<tex>~d(x,y)=d(y,x)</tex> ''(Объект <tex>x</tex> удален от объекта <tex>y</tex> так же, как объект <tex>y</tex> удален от объекта <tex>x</tex>)''
#<tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> ''(Расстояние от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> всегда меньше или равно расстоянию от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> через точку <tex>z</tex>. Это свойство обычно называют неравенством треугольника за его естественную геометрическую аналогию: сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.)''
+
#<tex>~d(x,y) \leqslant  d(x,z) + d(z,y)</tex> ''(Расстояние от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> всегда меньше или равно расстоянию от <tex>x</tex> до <tex>y</tex> через точку <tex>z</tex>. Это свойство обычно называют неравенством треугольника за его естественную геометрическую аналогию: сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.)''
  
 
== Доказательство неравенства треугольника ==
 
== Доказательство неравенства треугольника ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex>
+
|statement=<tex>~d(x,y) \leqslant  d(x,z) + d(z,y)</tex>
 
|proof=
 
|proof=
  
Пусть слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex> отличаются в некоторых позициях. Тогда какое бы слово <tex>z</tex> мы ни взяли, оно будет отличаться в каждой из этих позиций по крайне мере от одного из слов <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Следовательно, суммируя в правой части <tex>d(x, z)</tex> и <tex>d(z, y)</tex>, мы обязательно учтем все позиции, в которых различались слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Т.е. получается, что <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex>.
+
Пусть слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex> отличаются в некоторых позициях. Тогда какое бы слово <tex>z</tex> мы ни взяли, оно будет отличаться в каждой из этих позиций по крайне мере от одного из слов <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Следовательно, суммируя в правой части <tex>d(x, z)</tex> и <tex>d(z, y)</tex>, мы обязательно учтем все позиции, в которых различались слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Т.е. получается, что <tex>~d(x,y) \leqslant  d(x,z) + d(z,y)</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 28: Строка 27:
 
*[[Избыточное кодирование, код Хэмминга]]
 
*[[Избыточное кодирование, код Хэмминга]]
  
== Ссылки ==
+
== Источники информации ==
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Хэмминга Расстояние Хэмминга — Википедия]
 
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Хэмминга Расстояние Хэмминга — Википедия]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_distance Hamming distance - Wikipedia]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_distance Hamming distance - Wikipedia]

Текущая версия на 10:42, 20 января 2016

Определение:
Расстояние Хэмминга (англ. Hamming distance) — число позиций, в которых различаются соответствующие символы двух строк одинаковой длины.

В более общем случае расстояние Хэмминга применяется для строк одинаковой длины любых k-ичных алфавитов и служит метрикой различия (функцией, определяющей расстояние в метрическом пространстве) объектов одинаковой размерности.

Пример[править]

  • d(1011101, 1001001)=2
  • d(1538124, 1523156)=4
  • d(hill, holl)=1

Свойства[править]

Расстояние Хэмминга обладает свойствами метрики, так как удовлетворяет ее определению.

  1. [math]~d(x, y) = 0 \iff x = y[/math] (Если расстояние от [math]x[/math] до [math]y[/math] равно нулю, то [math]x[/math] и [math]y[/math] совпадают ([math]x = y[/math]))
  2. [math]~d(x,y)=d(y,x)[/math] (Объект [math]x[/math] удален от объекта [math]y[/math] так же, как объект [math]y[/math] удален от объекта [math]x[/math])
  3. [math]~d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)[/math] (Расстояние от [math]x[/math] до [math]y[/math] всегда меньше или равно расстоянию от [math]x[/math] до [math]y[/math] через точку [math]z[/math]. Это свойство обычно называют неравенством треугольника за его естественную геометрическую аналогию: сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.)

Доказательство неравенства треугольника[править]

Утверждение:
[math]~d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)[/math]
[math]\triangleright[/math]
Пусть слова [math]x[/math] и [math]y[/math] отличаются в некоторых позициях. Тогда какое бы слово [math]z[/math] мы ни взяли, оно будет отличаться в каждой из этих позиций по крайне мере от одного из слов [math]x[/math] и [math]y[/math]. Следовательно, суммируя в правой части [math]d(x, z)[/math] и [math]d(z, y)[/math], мы обязательно учтем все позиции, в которых различались слова [math]x[/math] и [math]y[/math]. Т.е. получается, что [math]~d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]