Расширения полей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 13: Строка 13:
 
}}
 
}}
  
<tex>K \subset F, \alpha \in F</tex>, рассмотрим <tex>K(\alpha)</tex> - наименьшее подполе <tex>F</tex>, которое содержит <tex>K</tex> и <tex>\alpha</tex> (пересечение всех таких подполей содержится в <tex>K</tex> и <tex>\alpha </tex> <tex>\Rightarrow</tex> получается тоже подполе (замкнутое относительно операций сложения, умножения и обратно). <br />
+
<tex>K \subset F, \alpha \in F</tex>, рассмотрим <tex>K(\alpha)</tex> {{---}} наименьшее подполе <tex>F</tex>, которое содержит <tex>K</tex> и <tex>\alpha</tex> (пересечение всех таких подполей содержится в <tex>K</tex> и <tex>\alpha </tex> <tex>\Rightarrow</tex> получается тоже подполе (замкнутое относительно операций сложения, умножения и обратно). <br />
 
Все возможные записи с <tex>K</tex> и <tex>\alpha</tex> образуют поле <tex>K(\alpha)</tex> : <tex>\frac{(K_1+\alpha)^7}{\alpha + K_2}</tex> и т.п. <br />
 
Все возможные записи с <tex>K</tex> и <tex>\alpha</tex> образуют поле <tex>K(\alpha)</tex> : <tex>\frac{(K_1+\alpha)^7}{\alpha + K_2}</tex> и т.п. <br />
Если <tex>\alpha \in K \Rightarrow K(\alpha)=K, K \subset K(\alpha) \subset F, K(\alpha) - </tex>расширение поля <tex>K</tex>. (простое расширение - присоединение одного элемента). <br />
+
Если <tex>\alpha \in K \Rightarrow K(\alpha)=K, K \subset K(\alpha) \subset F, K(\alpha)</tex> {{---}} расширение поля <tex>K</tex>. (простое расширение {{---}} присоединение одного элемента). <br />
 
<tex>K \subset K(\alpha) </tex> <br />
 
<tex>K \subset K(\alpha) </tex> <br />
# <tex>\exists f \in K[x] f(\alpha) = 0</tex> - простое алгебраическое
+
# <tex>\exists f \in K[x] \colon f(\alpha) = 0</tex> {{---}} простое алгебраическое
# <tex>\nexists f</tex> - простое трансцендентное
+
# <tex>\nexists f</tex> {{---}} простое трансцендентное
 
# <tex>K(\alpha) \cong K(x) = \left\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p(x),q(x) \in K[x] \right\}</tex>
 
# <tex>K(\alpha) \cong K(x) = \left\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p(x),q(x) \in K[x] \right\}</tex>
 
[[Категория: Поля]]
 
[[Категория: Поля]]

Текущая версия на 00:53, 14 сентября 2010

Эта статья находится в разработке!


Определение:
[math] K \subset F[/math], F называется расширением K (если [math][F : K][/math] - конечна, то F - конечное расширение поля K)


Определение:
Степенью расширения называется величина [math][F:K][/math]


Утверждение:
[math]A \subset K \subset F \Rightarrow [F:A] = [K:A] \cdot [F:K][/math]

[math]K \subset F, \alpha \in F[/math], рассмотрим [math]K(\alpha)[/math] — наименьшее подполе [math]F[/math], которое содержит [math]K[/math] и [math]\alpha[/math] (пересечение всех таких подполей содержится в [math]K[/math] и [math]\alpha [/math] [math]\Rightarrow[/math] получается тоже подполе (замкнутое относительно операций сложения, умножения и обратно).
Все возможные записи с [math]K[/math] и [math]\alpha[/math] образуют поле [math]K(\alpha)[/math] : [math]\frac{(K_1+\alpha)^7}{\alpha + K_2}[/math] и т.п.
Если [math]\alpha \in K \Rightarrow K(\alpha)=K, K \subset K(\alpha) \subset F, K(\alpha)[/math] — расширение поля [math]K[/math]. (простое расширение — присоединение одного элемента).
[math]K \subset K(\alpha) [/math]

  1. [math]\exists f \in K[x] \colon f(\alpha) = 0[/math] — простое алгебраическое
  2. [math]\nexists f[/math] — простое трансцендентное
  3. [math]K(\alpha) \cong K(x) = \left\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p(x),q(x) \in K[x] \right\}[/math]