Просмотр исходного текста страницы Расширенные биномиальные коэффициенты

{{в разработке}}

{{Определение
|definition= В математике '''биномиальные коэффициенты''' {{---}} коэффициенты в разложении бинома Ньютона <tex>(1+x)^n</tex> по степеням <tex>x</tex>.}}

Коэффициенты при <tex>x^k</tex> обозначаются <tex>\binom{n}{k}</tex> и вычисляются по формуле

<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}</tex>.

Значение выражения определено при целых неотрицательных <tex>n</tex> и <tex>k</tex>. Однако видно, что дробь можно сократить на <tex>(n-k)!</tex>. 

<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}</tex>. 

В этом выражении <tex>n</tex> может принимать произвольные действительные значения.

==Расширение треугольника Паскаля== 
[[Файл:Pascalstriangle.PNG|300px|thumb|right|Расширенный треугольник Паскаля]]

Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:

<tex>\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} </tex>. 

При этом <tex>\binom{n}{0} = 1</tex>. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений <tex>n</tex>, причём единственным образом.


==Применение==
Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.

Например, <tex>\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k</tex>.

В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.

== См. также ==

* [[Производящая функция]]

== Источники информации == 
* [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 Биномиальный коэффициент {{---}} Википедия]
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]