Расширенные биномиальные коэффициенты — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 13 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
{{Определение
+
<!------ ! ! v s t u p l e n i e ! ! ------->{{Определение
|definition= В математике '''биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') {{---}} коэффициенты в разложении бинома Ньютона <tex>(1+x)^n</tex> по степеням <tex>x</tex>.}}
+
|definition= В математике '''биномиальные коэффициенты''' {{---}} коэффициенты в разложении бинома Ньютона <tex>(1+x)^n</tex> по степеням <tex>x</tex>.}}
 +
 
 +
Коэффициенты при <tex>x^k</tex> обозначаются <tex>\binom{n}{k}</tex> и вычисляются по формуле
 +
 
 +
<!---- scha vspomniu kak centrirovat'----> <tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}</tex>.
 +
 
 +
Значение выражения определено при целых неотрицательных <tex>n</tex> и <tex>k</tex>. Однако видно, что дробь можно сократить на <tex>(n-k)!</tex>.
 +
 
 +
<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}</tex>.
 +
 
 +
В этом выражении <tex>n</tex> может принимать произвольные действительные значения.
 +
 
 +
==Расширение треугольника Паскаля== <!------ imho table better but now pofig) ------>
 +
[[Файл:Pascalstriangle.PNG|300px|thumb|right|Расширенный треугольник Паскаля]]
 +
 
 +
Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:
 +
 
 +
<tex>\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} </tex>.
 +
 
 +
При этом <tex>\binom{n}{0} = 1</tex>. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений <tex>n</tex>, причём единственным образом.
 +
 
 +
 
 +
==Применение==
 +
Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.
 +
 
 +
Например, <tex>\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k</tex>.
 +
 
 +
В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.
 +
 
 +
<!--Также на практике находят применение биномы в степени с рациональным показателем.
 +
 
 +
<tex>(1+z)^{1/2} = (1+z)^{1/2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{1/2}{k}z^k</tex>. Раскроем <tex>\dbinom{1/2}{k}</tex>.
 +
<tex>\dbinom{1/2}{k} = \dfrac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)\ldots(\frac{1}{2} - k + 1)}{k!} = \dfrac{1(1 - 2)(1 - 4)\ldots(1 - 2k + 2)}{2^kk!}</tex>
  
<!--
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= '''(расширенные) биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') — это структуры данных, которые  при внесении в них каких-то изменений сохраняют все свои предыдущие состояния и доступ к этим состояниям. Игорёк, у тебя всё будет классно, прелесть моя!!!!!!!!))))))) Как и у меня, ведь я раздобыла шаблон "определение".)))}}
+
|definition= '''(расширенные) биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') — это структуры данных, которые  при внесении в них каких-то изменений сохраняют все свои предыдущие состояния и доступ к этим состояниям. Игорёк, у тебя всё будет классно, прелесть моя!!!!!!!!))))))))))}}
  
 
определение
 
определение
Строка 10: Строка 41:
 
какой-то текст --- optional
 
какой-то текст --- optional
  
не читайте эту помойку
+
дальше помойка, не читайте эту помойку
  
 
применение
 
применение
Строка 25: Строка 56:
  
 
категории мб
 
категории мб
 +
 +
всё, тут помойка закончилась
  
 
и вроде всё :) содержательно, правда? ну да, так что ждём одобрения и посылаем. Изи!!!
 
и вроде всё :) содержательно, правда? ну да, так что ждём одобрения и посылаем. Изи!!!
 
ведь я люблю одного хорошего молодого человека и это взаимно!!!!!!!!!!!)))))))))))) *немного мотивашек)*
 
ведь я люблю одного хорошего молодого человека и это взаимно!!!!!!!!!!!)))))))))))) *немного мотивашек)*
 
-->
 
-->
 +
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
Строка 38: Строка 72:
 
== Источники информации ==  
 
== Источники информации ==  
 
* [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]
 
* [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 Биномиальный коэффициент {{---}} Википедия]<!----- оооо, щас бы забыть ctrl+c, дожили... старуха Марина 20 лет //отвлекаюсь, да... ----->
 
<!----* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
 
<!----* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
 
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
 
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]

Текущая версия на 00:52, 29 мая 2018

Определение:
В математике биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении бинома Ньютона [math](1+x)^n[/math] по степеням [math]x[/math].


Коэффициенты при [math]x^k[/math] обозначаются [math]\binom{n}{k}[/math] и вычисляются по формуле

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/math].

Значение выражения определено при целых неотрицательных [math]n[/math] и [math]k[/math]. Однако видно, что дробь можно сократить на [math](n-k)![/math].

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}[/math].

В этом выражении [math]n[/math] может принимать произвольные действительные значения.

Расширение треугольника Паскаля[править]

Расширенный треугольник Паскаля

Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:

[math]\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} [/math].

При этом [math]\binom{n}{0} = 1[/math]. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений [math]n[/math], причём единственным образом.


Применение[править]

Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.

Например, [math]\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k[/math].

В общем случае [math]\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k[/math].


См. также[править]


Источники информации[править]