Расширенные биномиальные коэффициенты

Определение:

В математике биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении бинома Ньютона [math](1+x)^n[/math] по степеням [math]x[/math].

Коэффициенты при [math]x^k[/math] обозначаются [math]\binom{n}{k}[/math] и вычисляются по формуле

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/math].

Значение выражения определено при целых неотрицательных [math]n[/math] и [math]k[/math]. Однако видно, что дробь можно сократить на [math](n-k)![/math].

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}[/math].

В этом выражении [math]n[/math] может принимать произвольные действительные значения.

Расширение треугольника Паскаля

Расширенный треугольник Паскаля

Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:

[math]\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} [/math].

При этом [math]\binom{n}{0} = 1[/math]. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений [math]n[/math], причём единственным образом.

Применение

Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.

Например, [math]\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k[/math].

В общем случае [math]\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k[/math].

См. также

• Производящая функция

Источники информации

• Расширенные биномиальные коэффициенты
• Биномиальный коэффициент — Википедия