Расширенные биномиальные коэффициенты — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
м
 
Строка 1: Строка 1:
#перенаправление [[А что звучит хайпово]]
+
{{в разработке}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition= В математике '''биномиальные коэффициенты''' {{---}} коэффициенты в разложении бинома Ньютона <tex>(1+x)^n</tex> по степеням <tex>x</tex>.}}
 +
 
 +
Коэффициенты при <tex>x^k</tex> обозначаются <tex>\binom{n}{k}</tex> и вычисляются по формуле
 +
 
 +
<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}</tex>.
 +
 
 +
Значение выражения определено при целых неотрицательных <tex>n</tex> и <tex>k</tex>. Однако видно, что дробь можно сократить на <tex>(n-k)!</tex>.
 +
 
 +
<tex>\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}</tex>.
 +
 
 +
В этом выражении <tex>n</tex> может принимать произвольные действительные значения.
 +
 
 +
==Расширение треугольника Паскаля==
 +
[[Файл:Pascalstriangle.PNG|300px|thumb|right|Расширенный треугольник Паскаля]]
 +
 
 +
Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:
 +
 
 +
<tex>\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} </tex>.
 +
 
 +
При этом <tex>\binom{n}{0} = 1</tex>. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений <tex>n</tex>, причём единственным образом.
 +
 
 +
 
 +
==Применение==
 +
Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.
 +
 
 +
Например, <tex>\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k</tex>.
 +
 
 +
В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
 
 +
* [[Производящая функция]]
 +
 
 +
== Источники информации ==
 +
* [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ Расширенные биномиальные коэффициенты]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82 Биномиальный коэффициент {{---}} Википедия]
 +
* [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1988/11/razbienie_chisel.htm Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год]
 +
* [http://www.genfunc.ru/ Производящие функции]
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function Wikipedia {{---}} Generating function]
 +
* [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые|Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера]]
 +
* Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics
 +
 
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Комбинаторика]]
 +
[[Категория: Подсчёт числа объектов]]

Текущая версия на 14:36, 5 января 2021

Эта статья находится в разработке!


Определение:
В математике биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении бинома Ньютона [math](1+x)^n[/math] по степеням [math]x[/math].


Коэффициенты при [math]x^k[/math] обозначаются [math]\binom{n}{k}[/math] и вычисляются по формуле

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/math].

Значение выражения определено при целых неотрицательных [math]n[/math] и [math]k[/math]. Однако видно, что дробь можно сократить на [math](n-k)![/math].

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}[/math].

В этом выражении [math]n[/math] может принимать произвольные действительные значения.

Расширение треугольника Паскаля[править]

Расширенный треугольник Паскаля

Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:

[math]\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} [/math].

При этом [math]\binom{n}{0} = 1[/math]. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений [math]n[/math], причём единственным образом.


Применение[править]

Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.

Например, [math]\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k[/math].

В общем случае [math]\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]