Расширенные биномиальные коэффициенты — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Применение)
Строка 27: Строка 27:
 
В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.
 
В общем случае <tex>\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k</tex>.
  
 +
<!--Также на практике находят применение биномы в степени с рациональным показателем.
 +
 +
<tex>(1+z)^{1/2} = (1+z)^{1/2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{1/2}{k}z^k</tex>. Раскроем <tex>\dbinom{1/2}{k}</tex>.
 +
<tex>\dbinom{1/2}{k} = \dfrac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)\ldots(\frac{1}{2} - k + 1)}{k!} = \dfrac{1(1 - 2)(1 - 4)\ldots(1 - 2k + 2)}{2^kk!}</tex>
  
<!--
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition= '''(расширенные) биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') — это структуры данных, которые  при внесении в них каких-то изменений сохраняют все свои предыдущие состояния и доступ к этим состояниям. Игорёк, у тебя всё будет классно, прелесть моя!!!!!!!!))))))))))}}
 
|definition= '''(расширенные) биномиальные коэффициенты''' (англ. ''abcde'') — это структуры данных, которые  при внесении в них каких-то изменений сохраняют все свои предыдущие состояния и доступ к этим состояниям. Игорёк, у тебя всё будет классно, прелесть моя!!!!!!!!))))))))))}}
Строка 51: Строка 54:
  
 
категории мб
 
категории мб
 +
 +
всё, тут помойка закончилась
  
 
и вроде всё :) содержательно, правда? ну да, так что ждём одобрения и посылаем. Изи!!!
 
и вроде всё :) содержательно, правда? ну да, так что ждём одобрения и посылаем. Изи!!!

Версия 00:48, 29 мая 2018

Определение:
В математике биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении бинома Ньютона [math](1+x)^n[/math] по степеням [math]x[/math].


Коэффициенты при [math]x^k[/math] обозначаются [math]\binom{n}{k}[/math] и вычисляются по формуле

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/math].

Значение выражения определено при целых неотрицательных [math]n[/math] и [math]k[/math]. Однако видно, что дробь можно сократить на [math](n-k)![/math].

[math]\dbinom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}[/math].

В этом выражении [math]n[/math] может принимать произвольные действительные значения.

Расширение треугольника Паскаля

Нетрудно проверить, что для биномиальных коэффициентов справедливо равенство:

[math]\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} [/math].

При этом [math]\binom{n}{0} = 1[/math]. Это свойство позволяет продлить треугольник Паскаля в сторону отрицательных значений [math]n[/math], причём единственным образом.

Применение

Расширенный треугольник Паскаля позволяет раскладывать в ряд простые дроби.

Например, [math]\dfrac{1}{(1+z)^2} = (1+z)^{-2} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-2}{k}z^k[/math].

В общем случае [math]\dfrac{1}{(1+z)^n} = (1+z)^{-n} = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty\dbinom{-n}{k}z^k[/math].


См. также


Источники информации