Реализация запроса в дереве отрезков сверху — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 90 промежуточных версий 12 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
Данная операция позволяет выполнять запросы на [[Дерево отрезков. Построение|дереве отрезков]], причем алгоритм запускается от корня и рекурсивно идет сверху вниз.
 +
 
==Алгоритм==
 
==Алгоритм==
Будем рассматривать запрос на примере задачи RSQ(запрос суммы)
+
''Замечание.''
[[Файл:123.jpg|right|380px|thumb|Пример дерева отрезков для вычисления сумм]]
+
Используем в алгоритме не отрезки, а полуинтервалы (левая граница включительно, а правая {{---}} нет).
  
Пусть есть дерево отрезков и задача найти сумму на отрезке <tex>[a .. b]</tex>, далее искомый.
+
Пусть есть уже [[Дерево отрезков. Построение|построенное дерево отрезков]]  и идет запрос на полуинтервале <tex>[a \ldots b)</tex>.
  
Запустим рекурсивную процедуру от всего отрезка.
+
В качестве параметров рекурсий передаем следующие переменные:
 +
* <tex>node</tex> {{---}} номер (в массиве с деревом отрезков) текущей вершины дерева.
 +
* <tex>a</tex>, <tex>b</tex>  {{---}} левая и правая границы запрашиваемого полуинтервала.
  
Проверять будем два условия :
+
Пусть <tex>l</tex>, <tex>r</tex> {{---}} это левая и правая границы полуинтервала, за которые "отвечает" наша вершина.
 +
Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала  (то есть от корневой вершины).
  
*если текущий отрезок не пересекается с искомым, то возвращаем нулевое значение.
+
Для текущего состояния проверяем следующие условия:
''Например'':
 
  
текущий <tex>[1..2]</tex>, а искомый <tex>[3 .. 4]</tex>;
+
* Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем нейтральный элемент.
 +
:''Например'': текущий <tex>[1 \ldots 3)</tex>, а искомый <tex>[3 \ldots 5)</tex>;
  
*текущий отрезок целиком внутри, то возвращаем значение в вершине.
+
* Если текущий полуинтервал лежит внутри запрашиваемого полуинтервала, то возвращаем значение в текущей вершине.
''Например'':
+
:''Например'': текущий <tex>[2 \ldots 3)</tex>, а искомый <tex>[2 \ldots 4)</tex>;
  
текущий <tex>[2..3]</tex>, а искомый <tex>[1 .. 4]</tex>;
+
* Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию (соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.
  
Далее переходим к рекурсивным вызовам
+
Так как на каждом уровне дерева рекурсия может дойти до не более, чем двух вершин (иначе бы нашлось две рядом стоящие вершины одного уровня, объединение которых дало отрезок, за который отвечает вершина предыдущего уровня), а всего уровней <tex>\log n</tex>, то операция выполняется за <tex>O(\log n)</tex>.
результат функции от текущего отрезка и искомого = сумма результатов от детей текущего отрезка и искомого.
 
  
 
==Пример==
 
==Пример==
[[Файл:Шагал1538.JPG|right|380px|thumb|Дерево отрезков]]
 
  
Рассмотрим работу программы на дереве отрезков для элементов <tex>[1 .. 8]</tex>.
+
Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи <tex>\mathrm{RSQ}</tex> (Range Sum Query {{---}} запрос суммы на отрезке).
Пусть запрашиваемая сумма - это отрезок <tex>[2 .. 5]</tex>.
+
 
 +
При этом сумма на текущем полуинтервале (в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операции на этих детях.
 +
 
 +
Пусть дерево содержит <tex>8</tex> листьев и запрашиваемая сумма  
 +
{{---}} это отрезок <tex>[1 \ldots 4]</tex> (полуинтервал <tex>[1 \ldots 5)</tex>).
 +
[[Файл:Image_4.png|right|602px|Пример рабoты алгоритма]]
 +
Рассмотрим данный алгоритм на определенных глубинах рекурсии, то есть на разных уровнях дерева (на рисунке глубина обозначена слева от уровня):
 +
 
 +
* На глубине <tex>0</tex>.  
 +
** Текущий полуинтервал <tex>[0 \ldots 8)</tex> пересекается с <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow</tex> рекурсивно переходим к <tex>[0 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 8)</tex>
  
*Текущий отрезок <tex>[1 .. 8]</tex>, он больше <tex>[2 .. 5]</tex> => переходим по рекурсивным вызовам на <tex>[1 .. 4]</tex>  и <tex>[5 .. 8]</tex>
 
  
 +
* На глубине <tex>1</tex>.
 +
** <tex>[0 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 8)</tex> пересекаются с <tex> [1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> переходим по рекурсивным вызовам на полуинтервалах <tex>[0 \ldots
 +
2)</tex>, <tex>[2 \ldots 4)</tex>, <tex>[4 \ldots 6)</tex> и <tex>[6 \ldots 8)</tex>
  
*<tex>[1 .. 4]</tex> выходит за границы<tex> [2 .. 5]</tex>, <tex>[5 .. 8]</tex> выходит за границы <tex>[2 .. 5]</tex> => переходим по рекурсивным вызовам на <tex>[1 .. 2]</tex>, <tex>[3 .. 4]</tex> и <tex>[5 .. 6]</tex>, <tex>[7 .. 8]</tex>.
 
  
 +
* На глубине <tex>2</tex>.
 +
** <tex>[0 \ldots 2)</tex> и <tex>[4 \ldots 6)</tex> пересекаются с  <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> переходим в листья <tex>[0 \ldots 1), [1 \ldots 2), [4 \ldots 5), [5 \ldots 6) </tex>
 +
** <tex>[2 \ldots 4) </tex> полностью лежит внутри <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем сумму на этом отрезке
 +
** <tex>[6 \ldots 8)</tex> не пересекается с <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем нулевое значение
  
*<tex>[1 .. 2]</tex> выходит за границы <tex>[2 .. 5]</tex> => переходим в листья 1, 2;  <tex>[3 .. 4]</tex> целиком внутри <tex>[2 .. 5]</tex> => возвращаем значение в <tex>[3 .. 4]</tex>;
 
<tex>[7 .. 8]</tex> не пересекается с <tex>[2 .. 5]</tex> => возвращаем нулевое значение, <tex>[5 .. 6]</tex> выходит за границы <tex>[2 .. 5]</tex> => переходим к листьям 5 и 6
 
  
 +
* На глубине <tex>3</tex>.
 +
** Листья <tex>[1 \ldots 2), [4 \ldots 5)</tex> лежат в запрашиваемом интервале <tex>\Rightarrow </tex> возвращаем значения в них
 +
** Листья <tex>[0 \ldots 1), [5 \ldots 6)</tex> лежат вне <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем нейтральное значение
  
*лист 6 не пересекается с отрезком <tex>[2 .. 5]</tex> => возвращаем нулевое значение, лист 5 целиков внутри <tex>[2 .. 5]</tex> => возвращаем значение в листе 5.
+
Таким образом ответ на полуинтервале <tex>[1 \ldots 5)</tex> равен сумме значений в вершинах, отвечающих за полуинтервалы <tex>[1 \ldots 2)</tex>, <tex>[2 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 5)</tex>.
  
 
==Реализация==
 
==Реализация==
<code>
+
Рассмотрим реализацию задачи о дереве отрезков с произвольной ассоциативной бинарной операцией.
 +
 
 +
Пусть в узлах дерева хранятся структуры из трех полей:
 +
* <tex>\mathtt{left}</tex> {{---}} левая граница полуинтервала, за который "отвечает" текущая вершина.
 +
* <tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} правая граница этого полуинтервала.
 +
* <tex> \mathtt{res}</tex> {{---}} результат операции на полуинтервале.
 +
 
 +
  '''int''' query('''int''' node, '''int''' a, '''int''' b)   
 +
      l = tree[node].left
 +
      r = tree[node].right
 +
      '''if''' [l, r) <tex>\cap </tex> [a, b) == <tex>\varnothing</tex>
 +
          '''return''' ''<tex>\varepsilon</tex>''                    <span style="color:#008000">// <tex>\varepsilon</tex> {{---}} нейтральный для данной операции элемент</span>
 +
      '''if''' [l, r) <tex>\subset</tex> [a, b)
 +
          '''return''' tree[node].res
 +
      '''return''' query(node * 2 + 1, a, b) <tex> \circ </tex> query(node * 2 + 2, a, b)
  
  int sum (int v, int tl, int tr, int l, int r)
+
==См. также==
  {
+
* [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу]]
        if ([l,r] <tex>\bigcap</tex> [tl, tr]) =
+
* [[Дерево отрезков. Построение]]
            return 0;
 
        if ([l,r] <tex>\subset</tex> [tl, tr])
 
            return t[v];
 
        int tm = (tl + tr) / 2;
 
        return sum (v*2, tl, tm, l, min(r,tm))
 
            + sum (v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r);
 
  }
 
</code>
 
  
==Ссылки==
+
==Источники информации==
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Википедия — Дерево отрезков]
  
[http://e-maxx.ru/algo/segment_tree - MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 Дискретная математика: Алгоритмы — Визуализатор дерева отрезков]
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  - Дерево отрезков — Википедия]
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Дерево отрезков]]

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Данная операция позволяет выполнять запросы на дереве отрезков, причем алгоритм запускается от корня и рекурсивно идет сверху вниз.

Алгоритм

Замечание. Используем в алгоритме не отрезки, а полуинтервалы (левая граница включительно, а правая — нет).

Пусть есть уже построенное дерево отрезков и идет запрос на полуинтервале [math][a \ldots b)[/math].

В качестве параметров рекурсий передаем следующие переменные:

  • [math]node[/math] — номер (в массиве с деревом отрезков) текущей вершины дерева.
  • [math]a[/math], [math]b[/math] — левая и правая границы запрашиваемого полуинтервала.

Пусть [math]l[/math], [math]r[/math] — это левая и правая границы полуинтервала, за которые "отвечает" наша вершина. Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала (то есть от корневой вершины).

Для текущего состояния проверяем следующие условия:

  • Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем нейтральный элемент.
Например: текущий [math][1 \ldots 3)[/math], а искомый [math][3 \ldots 5)[/math];
  • Если текущий полуинтервал лежит внутри запрашиваемого полуинтервала, то возвращаем значение в текущей вершине.
Например: текущий [math][2 \ldots 3)[/math], а искомый [math][2 \ldots 4)[/math];
  • Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию (соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.

Так как на каждом уровне дерева рекурсия может дойти до не более, чем двух вершин (иначе бы нашлось две рядом стоящие вершины одного уровня, объединение которых дало отрезок, за который отвечает вершина предыдущего уровня), а всего уровней [math]\log n[/math], то операция выполняется за [math]O(\log n)[/math].

Пример

Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи [math]\mathrm{RSQ}[/math] (Range Sum Query — запрос суммы на отрезке).

При этом сумма на текущем полуинтервале (в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операции на этих детях.

Пусть дерево содержит [math]8[/math] листьев и запрашиваемая сумма — это отрезок [math][1 \ldots 4][/math] (полуинтервал [math][1 \ldots 5)[/math]).

Пример рабoты алгоритма

Рассмотрим данный алгоритм на определенных глубинах рекурсии, то есть на разных уровнях дерева (на рисунке глубина обозначена слева от уровня):

  • На глубине [math]0[/math].
    • Текущий полуинтервал [math][0 \ldots 8)[/math] пересекается с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow[/math] рекурсивно переходим к [math][0 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 8)[/math]


  • На глубине [math]1[/math].
    • [math][0 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 8)[/math] пересекаются с [math] [1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] переходим по рекурсивным вызовам на полуинтервалах [math][0 \ldots 2)[/math], [math][2 \ldots 4)[/math], [math][4 \ldots 6)[/math] и [math][6 \ldots 8)[/math]


  • На глубине [math]2[/math].
    • [math][0 \ldots 2)[/math] и [math][4 \ldots 6)[/math] пересекаются с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] переходим в листья [math][0 \ldots 1), [1 \ldots 2), [4 \ldots 5), [5 \ldots 6) [/math]
    • [math][2 \ldots 4) [/math] полностью лежит внутри [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем сумму на этом отрезке
    • [math][6 \ldots 8)[/math] не пересекается с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем нулевое значение


  • На глубине [math]3[/math].
    • Листья [math][1 \ldots 2), [4 \ldots 5)[/math] лежат в запрашиваемом интервале [math]\Rightarrow [/math] возвращаем значения в них
    • Листья [math][0 \ldots 1), [5 \ldots 6)[/math] лежат вне [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем нейтральное значение

Таким образом ответ на полуинтервале [math][1 \ldots 5)[/math] равен сумме значений в вершинах, отвечающих за полуинтервалы [math][1 \ldots 2)[/math], [math][2 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 5)[/math].

Реализация

Рассмотрим реализацию задачи о дереве отрезков с произвольной ассоциативной бинарной операцией.

Пусть в узлах дерева хранятся структуры из трех полей:

  • [math]\mathtt{left}[/math] — левая граница полуинтервала, за который "отвечает" текущая вершина.
  • [math]\mathtt{right}[/math] — правая граница этого полуинтервала.
  • [math] \mathtt{res}[/math] — результат операции на полуинтервале.
 int query(int node, int a, int b)     
     l = tree[node].left
     r = tree[node].right 
     if [l, r) [math]\cap [/math] [a, b) == [math]\varnothing[/math]
         return [math]\varepsilon[/math]                    // [math]\varepsilon[/math] — нейтральный для данной операции элемент
     if [l, r) [math]\subset[/math] [a, b)
         return tree[node].res
     return query(node * 2 + 1, a, b) [math] \circ [/math] query(node * 2 + 2, a, b)

См. также

Источники информации