Реализация запроса в дереве отрезков снизу — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Правка пунктуации)
 
(не показано 28 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
[[Файл:Down-up2.png‎|right|255px|thumb|Реализация запроса снизу вверх]]
+
==Алгоритм==
  
==Алгоритм==
+
Реализация запроса снизу вверх в дереве отрезков является, в отличие от [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху| реализации запроса сверху вниз]], итеративным методом. Будем рассматривать абстрактную операцию, обладающую свойством ассоциативности, и обозначать ее <tex>a \circ b</tex>.
  
Реализация запроса снизу вверх в дереве отрезков является, в отличие от реализации сверху вниз, итеративным методом. Будем рассматривать дерево отрезков с операцией нахождения минимального значения(RMQ).
+
[[Дерево отрезков. Построение|Построим дерево отрезков]], и установим границы отрезка на соответствующие им листья. Будем действовать в 3 этапа:
 +
# Если элемент, попавший на левую границу, является правым сыном, то запишем в результат значение, полученное после выполнения нашей операции над предыдущим результатом и значением этого элемента, а левую границу перемещаем на один элемент вправо. Аналогично с правой границей (является ли она левым сыном). Таким образом мы учтем вклад нужной нам вершины и избавимся от  вклада ненужного нам поддерева.
 +
# Устанавливаем границы отрезка на родительские элементы текущих границ. Это позволит узнать, входит ли полученный отрезок в искомый или нет. Повторяем этап 1, пока границы не пересекутся.
 +
# Если после завершения цикла границы совпадут, значит полученный отрезок входит в искомый, и надо пересчитать результат.
  
Установим границы отрезка на соответствующие листья. Если элемент, попавший на левую границу, является правым сыном, то вычисляем результат как минимум между предыдущем результатом и значением этого элемента, а левую границу перемещаем на один элемент вправо. Аналогично действуем с элементом попавшим на правую границу (является ли этот элемент левым сыном). Затем устанавливаем границы отрезка на родительские элементы текущих границ. Продолжаем до тех пор, пока границы не пересекутся.
+
{| cellpadding="10"
 +
| '''Реализация запроса снизу вверх''' || '''Ещё один пример'''
 +
|-
 +
| [[Файл:Запрос снизу №1х1.jpg|550px|]] || [[Файл:Запрос снизу №2х1.jpg|550px]]
 +
|-
 +
| [[Файл:Запрос снизу №1х2.jpg|550px|]] || [[Файл:Запрос снизу №2х2.jpg|550px]]
 +
|-
 +
| [[Файл:Запрос снизу №1х3.jpg|550px|]] || [[Файл:Запрос снизу №2х3.jpg|550px]]
 +
|-
 +
| [[Файл:Запрос снизу №1х4.jpg|550px|]] || [[Файл:Запрос снизу №2х4.jpg|550px]]
 +
|}
  
 
==Псевдокод==
 
==Псевдокод==
  
Пусть дерево отрезков реализовано на массиве с индексацией элементов с 1.
+
Пусть результат считаем на отрезке <tex> [left, right] </tex>. При этом значения <tex>left</tex> и <tex>right</tex>, передающиеся в функцию, должны указывать на листья дерева (необходимо увеличить значение на индекс массива, с которого начинаются листья). Переменные <tex>leftRes</tex> и <tex>rightRes</tex> будут собирать значения на отрезках, отделившихся соответственно слева или справа от рассматриваемого.  
  
   //Функция нахождения минимального элемента на отрезке [left, right]
+
   '''int''' query(left: '''int''', right: '''int'''):
  Min(left, right)
+
      leftRes = ''neutral''
       result = +inf; //Присваиваем результату максимально возможное значение
+
       rightRes = ''neutral''
       while left < right //Выполняем цикл до тех пор, пока левая и правая граница не пересекутся
+
       '''while''' left < right
         if ((left) div 2) * 2 + 1 == left // Проверяем, является ли левая граница правым сыном
+
         '''if''' left '''mod''' 2 == 0
             result = min(result, data[left]); // Если является, то пересчитаем результат и перенесем левую границу
+
             leftRes = leftRes <tex> \circ </tex> data[left]
            left = (left + 1) div 2;
+
         left = left '''div''' 2  
         else
+
         '''if''' right '''mod''' 2 == 1
            left = (left) div 2; // Если не является, то установим границу на родительский элемент текущей границы
+
             rightRes = data[right] <tex> \circ </tex> rightRes
         if ((right) div 2) * 2 == right // Аналогично проделываем операции с правой границей
+
         right = right '''div''' 2 - 1
             result = min(result, data[right]);
+
       '''if''' left == right   
            right = (right - 1) div 2;
+
         leftRes = leftRes <tex> \circ </tex> data[left]
         else
+
       '''return''' leftRes <tex> \circ </tex> rightRes
            right = (right) div 2;
 
       if left == right // После окончания цикла проверяем совпали ли границы  
 
         result = min(result, data[left]); // Если надо пересчитываем результат
 
       return result;
 
  
==Ссылки==
+
==См. также==
 +
* [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху]]
  
[http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
+
==Источники информации==
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Википедия {{---}} Дерево отрезков]
+
* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
  
[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 Визуализатор]
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Википедия {{---}} Дерево отрезков]
  
[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006/algorithm Алгоритм]
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 Визуализатор]
  
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006/algorithm Алгоритм]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  
 
[[Категория: Дерево отрезков]]
 
[[Категория: Дерево отрезков]]

Текущая версия на 22:16, 5 сентября 2019

Алгоритм[править]

Реализация запроса снизу вверх в дереве отрезков является, в отличие от реализации запроса сверху вниз, итеративным методом. Будем рассматривать абстрактную операцию, обладающую свойством ассоциативности, и обозначать ее [math]a \circ b[/math].

Построим дерево отрезков, и установим границы отрезка на соответствующие им листья. Будем действовать в 3 этапа:

  1. Если элемент, попавший на левую границу, является правым сыном, то запишем в результат значение, полученное после выполнения нашей операции над предыдущим результатом и значением этого элемента, а левую границу перемещаем на один элемент вправо. Аналогично с правой границей (является ли она левым сыном). Таким образом мы учтем вклад нужной нам вершины и избавимся от вклада ненужного нам поддерева.
  2. Устанавливаем границы отрезка на родительские элементы текущих границ. Это позволит узнать, входит ли полученный отрезок в искомый или нет. Повторяем этап 1, пока границы не пересекутся.
  3. Если после завершения цикла границы совпадут, значит полученный отрезок входит в искомый, и надо пересчитать результат.
Реализация запроса снизу вверх Ещё один пример
Запрос снизу №1х1.jpg Запрос снизу №2х1.jpg
Запрос снизу №1х2.jpg Запрос снизу №2х2.jpg
Запрос снизу №1х3.jpg Запрос снизу №2х3.jpg
Запрос снизу №1х4.jpg Запрос снизу №2х4.jpg

Псевдокод[править]

Пусть результат считаем на отрезке [math] [left, right] [/math]. При этом значения [math]left[/math] и [math]right[/math], передающиеся в функцию, должны указывать на листья дерева (необходимо увеличить значение на индекс массива, с которого начинаются листья). Переменные [math]leftRes[/math] и [math]rightRes[/math] будут собирать значения на отрезках, отделившихся соответственно слева или справа от рассматриваемого.

  int query(left: int, right: int):
     leftRes = neutral
     rightRes = neutral
     while left < right
        if left mod 2 == 0
           leftRes = leftRes [math] \circ [/math] data[left]
        left = left div 2 
        if right mod 2 == 1
           rightRes = data[right] [math] \circ [/math] rightRes
        right = right div 2 - 1
     if left == right  
        leftRes = leftRes [math] \circ [/math] data[left]
     return leftRes [math] \circ [/math] rightRes

См. также[править]

Источники информации[править]