Регуляризация — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 18 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Регуляризация''' (англ. ''regularization'') в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить неккоректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.
+
'''Регуляризация''' (англ. ''regularization'') в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить некорректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.
 
}}
 
}}
  
Строка 36: Строка 36:
 
Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации {{---}} <tex>L_{1}</tex> и <tex >L_{2}</tex>, а также их линейная комбинация {{---}} эластичная сеть.  
 
Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации {{---}} <tex>L_{1}</tex> и <tex >L_{2}</tex>, а также их линейная комбинация {{---}} эластичная сеть.  
  
В представленных ниже формулах для эмпирического риска <tex>Q</tex>: <tex>\mathcal{L}</tex> является функцией потерь, а <tex>\beta</tex> {{---}} вектором параметров <tex>g(x, \beta)</tex> из [[Модель алгоритма и ее выбор | модели алгоритмов]].
+
В представленных ниже формулах для эмпирического риска <tex>Q</tex>: <tex>\mathcal{L}</tex> является функцией потерь, а <tex>\beta</tex> {{---}} вектором параметров <tex>g(x, \beta)</tex> из [[Модель алгоритма и ее выбор | модели алгоритма]], а <tex>\lambda</tex> {{---}} неотрицательный гиперпараметр, являющийся коэффициентом регуляризации.
  
 
===<tex>L_{2}</tex>-регуляризация===
 
===<tex>L_{2}</tex>-регуляризация===
Строка 49: Строка 49:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex>L_{1}</tex>-регуляризация (англ. ''lasso regularization''), или регуляризация через манхэттенское расстояние:  
+
<tex>L_{1}</tex>-регуляризация (англ. ''lasso regularization''), или регуляризация через [[Метрический классификатор и метод ближайших соседей#Использование различных метрик расстояния | манхэттенское расстояние]]:  
 
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>.
 
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 62: Строка 62:
 
В новых переменных функционал становится гладким, но добавляются ограничения-неравенства:
 
В новых переменных функционал становится гладким, но добавляются ограничения-неравенства:
 
:<tex>\begin{cases} Q(u, v) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow \min\limits_{u,v} \\ u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0, \: j=1,\ldots,n\end{cases} </tex>
 
:<tex>\begin{cases} Q(u, v) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow \min\limits_{u,v} \\ u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0, \: j=1,\ldots,n\end{cases} </tex>
Для любого <tex>j</tex> хотя бы одно из ограничений <tex>u_{j} \geq 􏰧0</tex> и <tex>v_{j} 􏰧\geq 0</tex> обращается в равенство, иначе второе слагаемое в <tex>Q(u, v)</tex> можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр <tex>\lambda</tex> устремить к <tex>\infty</tex>, в какой-то момент все <tex>2n</tex> ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра <tex>\lambda</tex> приводит к увеличению числа таких <tex>j</tex>, для которых <tex>u_{j} = v_{j} = 0</tex>, откуда следует, что <tex>\beta_{j} = 0</tex>. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения <tex>j</tex>-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.
+
Для любого <tex>j</tex> хотя бы одно из ограничений <tex>u_{j} \geq 0</tex> и <tex>v_{j} \geq 0</tex> обращается в равенство, иначе второе слагаемое в <tex>Q(u, v)</tex> можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр <tex>\lambda</tex> устремить к <tex>\infty</tex>, в какой-то момент все <tex>2n</tex> ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра <tex>\lambda</tex> приводит к увеличению числа таких <tex>j</tex>, для которых <tex>u_{j} = v_{j} = 0</tex>, откуда следует, что <tex>\beta_{j} = 0</tex>. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения <tex>j</tex>-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.
  
 
===Эластичная сеть===
 
===Эластичная сеть===
Строка 68: Строка 68:
 
|definition=
 
|definition=
 
Эластичная сеть (англ. ''elastic net regularization''):
 
Эластичная сеть (англ. ''elastic net regularization''):
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{I=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum\limits_{j}{\beta_{j}}^{2}</tex>.
+
:<tex>Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum\limits_{j=1}^n{\beta_{j}}^{2}</tex>.
 
}}
 
}}
 
Приведенная регуляризация использует как <tex>L_{1}</tex>, так и <tex>L_{2}</tex> регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с <tex>L_{1}</tex>-регуляризацией.
 
Приведенная регуляризация использует как <tex>L_{1}</tex>, так и <tex>L_{2}</tex> регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с <tex>L_{1}</tex>-регуляризацией.
Строка 103: Строка 103:
 
:<tex>\beta \sim N(0, \sigma^2)</tex>
 
:<tex>\beta \sim N(0, \sigma^2)</tex>
 
Логарифмируя, получаем ''квадратичный регуляризатор'':
 
Логарифмируя, получаем ''квадратичный регуляризатор'':
:<tex>\ln p(\beta; \sigma) = \ln (\dfrac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp(- \dfrac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma})) = - \dfrac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),</tex>
+
:<tex>\ln p(\beta; \sigma) = \ln \left(\dfrac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp \left(- \dfrac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma} \right) \right) = - \dfrac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),</tex>
 
где <tex>const(\beta)</tex> {{---}} слагаемое, не зависящее от <tex>\beta</tex>, которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем <tex>L_{2}</tex>-регуляризатор.
 
где <tex>const(\beta)</tex> {{---}} слагаемое, не зависящее от <tex>\beta</tex>, которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем <tex>L_{2}</tex>-регуляризатор.
  
Строка 110: Строка 110:
 
:<tex>\beta \sim Laplace(0, C)</tex>
 
:<tex>\beta \sim Laplace(0, C)</tex>
 
Тогда:
 
Тогда:
:<tex>\ln p(\beta; C) = \ln (\dfrac{1}{(2C)^n} \exp(- \dfrac{\| \beta \|_{1}}{C})) = - \dfrac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum\limits_{j}|\beta_{j}|</tex>
+
:<tex>\ln p(\beta; C) = \ln \left(\dfrac{1}{(2C)^n} \exp \left(- \dfrac{\| \beta \|_{1}}{C} \right) \right) = - \dfrac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum\limits_{j}|\beta_{j}|</tex>
 
Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, <tex>const(\beta)</tex> можно опустить и, таким образом, получаем <tex>L_{1}</tex> -регуляризатор.
 
Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, <tex>const(\beta)</tex> можно опустить и, таким образом, получаем <tex>L_{1}</tex> -регуляризатор.
  
Строка 121: Строка 121:
  
 
==Регуляризация в линейной регрессии==
 
==Регуляризация в линейной регрессии==
В [[Линейная регрессия | линейной регрессии]] моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Таким образом, модель алгоритмов для нее состоит из функций вида:
+
В [[Линейная регрессия | линейной регрессии]] моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Каждому объекту $x \in X^l$ соответствует признаковое описание $(f_{1}(x),\dots,f_{n}(x))$, где $f_{j}:X \rightarrow \mathbb{R}$ {{---}} числовые признаки. Модель алгоритмов для линейной регрессии состоит из функций вида:
:$g(x, \beta) = \sum\limits_{j}^n \beta_{j} f_{j}(x)$
+
:$g(x, \beta) = \sum\limits_{j}^n \beta_{j} \,f_{j}(x)$
 
В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:
 
В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:
 
:$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,
 
:$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,
где $F = (f_(x_{i}))_{l \times n}$ {{---}} матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ {{---}} целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ {{---}} вектор параметров.
+
где $F = (f_{j}(x_{i}))_{l \times n}$ {{---}} матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ {{---}} целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ {{---}} вектор параметров.
 
Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:
 
Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:
 
:$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$
 
:$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$
Строка 136: Строка 136:
  
 
===Гребневая регрессия===
 
===Гребневая регрессия===
К функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.
+
В [[Вариации регрессии#Гребневая регрессия (ридж-регрессия) | гребневой регрессии]] к функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.
  
 
Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
 
Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
Строка 148: Строка 148:
 
:$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$
 
:$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$
 
Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:
 
Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:
:$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau})V^Ty = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$
+
:$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag \left(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \right)V^Ty = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$
 
Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.
 
Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.
  
Строка 162: Строка 162:
  
 
В случае с гребнем:
 
В случае с гребнем:
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}) = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j}} < n$
+
:$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag \left(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}\right) = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j}} < n$
  
 
===Лассо регрессия===
 
===Лассо регрессия===
  
К функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.
+
В [[Вариации регрессии#Лассо-регрессия | лассо регрессии]] к функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.
  
 
Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
 
Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:
Строка 187: Строка 187:
  
 
Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:
 
Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:
:$\beta^* = argmin(\sum\limits_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2)$
+
:$\beta^* = argmin \left(\sum\limits_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2\right)$
 
:$\beta_{j}^* = y_{j}$
 
:$\beta_{j}^* = y_{j}$
 
В случае с гребневой регрессией:
 
В случае с гребневой регрессией:
Строка 241: Строка 241:
 
Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.
 
Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.
 
* Метод релевантных векторов (англ. ''RVM, Relevance vector Machine''):
 
* Метод релевантных векторов (англ. ''RVM, Relevance vector Machine''):
:$\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^l(\ln w_{i} + \dfrac{\lambda_{i}^2}{w_{i}})$
+
:$\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^l\left(\ln w_{i} + \dfrac{\lambda_{i}^2}{w_{i}}\right)$
 
* Метод опорных векторов с лассо (англ. ''LASSO SVM''):  
 
* Метод опорных векторов с лассо (англ. ''LASSO SVM''):  
 
:$\mu \sum\limits_{i=1}^n|w_{i}|$
 
:$\mu \sum\limits_{i=1}^n|w_{i}|$
Строка 293: Строка 293:
  
 
[[Категория: Машинное обучение]]
 
[[Категория: Машинное обучение]]
 +
[[Категория: Регрессия]]

Текущая версия на 19:49, 16 февраля 2020

Определение:
Регуляризация (англ. regularization) в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить некорректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.


Мотивация[править]

Как говорилось ранее, регуляризация полезна для борьбы с переобучением. Если вы выбрали сложную модель, и при этом у вас недостаточно данных, то легко можно получить итоговую модель, которая хорошо описывает обучающую выборку, но не обобщается на тестовую.

На примере линейной регрессии[править]

В качестве наглядного примера рассмотрим линейные регрессионные модели. Восстановить зависимость для нескольких точек можно пытаться полиномами разной степени $M$.

Рис. 1. Норма. M = 2
Рис. 2. Переобучение. M = 4

На Рис. 1 представлена зависимость, которая хорошо подходит для описания данных, а на Рис. 2 — модель, слишком сильно заточенная под обучающую выборку.

Однин из способов бороться с негативным эффектом излишнего подстраивания под данные — использование регуляризации, т. е. добавление некоторого штрафа за большие значения коэффициентов у линейной модели. Тем самым запрещаются слишком "резкие" изгибы, и предотвращается переобучение.

На примере логистической регрессии[править]

Необходимость регуляризации можно увидеть и на другом примере — при использовании логистической регресии. Представьте, что ваша обучающая выборка была линейно разделима. В таком случае в процессе оптимизации значения весов модели уйдут в бесконечность, и вместо сигмойды получится "ступенька", представленная на Рис. 3.

Рис 3. Сигмойда — "ступенька"

Это плохо, ибо произошло затачивание под обучающую выборку. Как и в предыдущем примере, побороться с этим можно путем добавления регуляризатора, не дающего весам принимать слишком большие значения.

Основные виды регуляризации[править]

Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации — [math]L_{1}[/math] и [math]L_{2}[/math], а также их линейная комбинация — эластичная сеть.

В представленных ниже формулах для эмпирического риска [math]Q[/math]: [math]\mathcal{L}[/math] является функцией потерь, а [math]\beta[/math] — вектором параметров [math]g(x, \beta)[/math] из модели алгоритма, а [math]\lambda[/math] — неотрицательный гиперпараметр, являющийся коэффициентом регуляризации.

[math]L_{2}[/math]-регуляризация[править]

Определение:
[math]L_{2}[/math]-регуляризация, или регуляризация Тихонова (англ. ridge regularization или Tikhonov regularization):
[math]Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{\beta_{j}}^{2}[/math].

Минимизация регуляризованного cоответствующим образом эмпирического риска приводит к выбору такого вектора параметров [math]\beta[/math], которое не слишком сильно отклоняется от нуля. В линейных классификаторах это позволяет избежать проблем мультиколлинеарности и переобучения.

[math]L_{1}[/math]-регуляризация[править]

Определение:
[math]L_{1}[/math]-регуляризация (англ. lasso regularization), или регуляризация через манхэттенское расстояние:
[math]Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}[/math].

Данный вид регуляризации также позволяет ограничить значения вектора [math]\beta[/math]. Однако, к тому же он обладает интересным и полезным на практике свойством — обнуляет значения некоторых параметров, что в случае с линейными моделями приводит к отбору признаков.

Запишем задачу настройки вектора параметров [math]\beta[/math]:

[math]Q(\beta) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(\beta) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}[/math],

где [math]\mathcal{L}_{i}(\beta) = \mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))[/math] — некоторая ограниченная гладкая функция потерь. Сделаем замену переменных, чтобы функционал стал гладким. Каждой переменной [math]\beta_{j}[/math] поставим в соответствие две новые неотрицательные переменные:

[math]\begin{cases} u_{j}=\dfrac{1}{2}(|\beta_{j}| + \beta_{j}) \\ v_{j}=\dfrac{1}{2}(|\beta_{j}| - \beta_{j}) \end{cases} [/math]

Тогда:

[math]\begin{cases} \beta_{j} = u_{j} - v_{j} \\ |\beta_{j}| = u_{j} + v_{j} \end{cases}[/math]

В новых переменных функционал становится гладким, но добавляются ограничения-неравенства:

[math]\begin{cases} Q(u, v) = \sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum\limits_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow \min\limits_{u,v} \\ u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0, \: j=1,\ldots,n\end{cases} [/math]

Для любого [math]j[/math] хотя бы одно из ограничений [math]u_{j} \geq 0[/math] и [math]v_{j} \geq 0[/math] обращается в равенство, иначе второе слагаемое в [math]Q(u, v)[/math] можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр [math]\lambda[/math] устремить к [math]\infty[/math], в какой-то момент все [math]2n[/math] ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра [math]\lambda[/math] приводит к увеличению числа таких [math]j[/math], для которых [math]u_{j} = v_{j} = 0[/math], откуда следует, что [math]\beta_{j} = 0[/math]. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения [math]j[/math]-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.

Эластичная сеть[править]

Определение:
Эластичная сеть (англ. elastic net regularization):
[math]Q(\beta, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum\limits_{j=1}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum\limits_{j=1}^n{\beta_{j}}^{2}[/math].

Приведенная регуляризация использует как [math]L_{1}[/math], так и [math]L_{2}[/math] регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с [math]L_{1}[/math]-регуляризацией.

Вероятностная интерпретация регуляризации[править]

Эквивалентная вероятностная задача[править]

Перед нами стоит задача — минимизировать эмпирический риск:

[math]Q(\beta, X^l)=\sum\limits _{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta)) \rightarrow \min\limits_{\beta}[/math]

Вероятностная модель данных дает возможность по-другому взглянуть на задачу. Пусть [math]X \times Y[/math] — является вероятностным пространством. Тогда вместо [math]g(x_{i}, \beta)[/math] задана совместная плотность распределение объектов и классов [math]p(x, y|\beta)[/math].

Для настройки вектора параметров $\beta$ воспользуемся принципом максимума правдоподобия:

[math]p(X^l|\beta)=\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i},y_{i}|\beta) \rightarrow \max\limits_{\beta}[/math]

Удобнее рассматривать логарифм правдоподобия:

[math]L(\beta, X^l)=\ln p(X^l|\beta)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) \rightarrow \max\limits_{\beta}[/math]

Можно заключить, что задачи в исходном и вероятностном представлении эквивалентны, если положить:

[math]-\ln p(x_{i}, y_{i}|\beta)=\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))[/math]

Принцип максимума совместного правдоподобия данных и модели[править]

Допустим, что наряду с параметрической моделью плотности распределения [math]p(x, y|\beta)[/math] имеется еще и априорное распределение в пространстве параметров модели [math]p(\beta)[/math]. Чтобы ослабить априорные ограничения, вместо фиксированной функции [math]p(\beta)[/math] вводится параметрическое семейство априорных распределений [math]p(\beta; \gamma)[/math], где [math]\gamma[/math] — гиперпараметр.

Принцип максимума правдоподобия теперь будет записываться по-другому, так как не только появление выборки [math]X^l[/math], но и появление модели [math]\beta[/math] также является случайным. Их совместное появление описывается, согласно формуле условной вероятности, плотностью распределения:

[math]p(X^l, \beta; \gamma)=p(X^l|\beta)p(\beta;\gamma)[/math]

Таким образом, приходим к принципу максимума совместного правдоподобия данных и модели:

[math]L_{\gamma}(\beta, X^l)=\ln p(X^l, \beta;\gamma)=\sum\limits_{i=1}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) + \ln p(\beta; \gamma) \rightarrow \max\limits_{\beta}[/math]

Функционал [math]L_{\gamma}[/math] распадается на два слагаемых: логарифм правдоподобия и регуляризатор, не зависящий от данных. Второе слагаемое ограничивает вектор параметров модели, не позволяя ему быть каким угодно.

В итоге мы получили, что с байесовской точки зрения многие методы регуляризации соответствуют добавлению некоторых априорных распределений на параметры модели. При этом можно определить распределения, которые соответствуют представленным ранее [math]L_{1}[/math] и [math]L_{2}[/math] регуляризаторам.

Нормальный регуляризатор[править]

Пусть вектор [math]\beta[/math] имеет нормальное распределение[1], все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:

[math]\beta \sim N(0, \sigma^2)[/math]

Логарифмируя, получаем квадратичный регуляризатор:

[math]\ln p(\beta; \sigma) = \ln \left(\dfrac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp \left(- \dfrac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma} \right) \right) = - \dfrac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),[/math]

где [math]const(\beta)[/math] — слагаемое, не зависящее от [math]\beta[/math], которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем [math]L_{2}[/math]-регуляризатор.

Лапласовский регуляризатор[править]

Пусть вектор [math]\beta[/math] имеет распределение Лапласа[2], все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:

[math]\beta \sim Laplace(0, C)[/math]

Тогда:

[math]\ln p(\beta; C) = \ln \left(\dfrac{1}{(2C)^n} \exp \left(- \dfrac{\| \beta \|_{1}}{C} \right) \right) = - \dfrac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum\limits_{j}|\beta_{j}|[/math]

Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, [math]const(\beta)[/math] можно опустить и, таким образом, получаем [math]L_{1}[/math] -регуляризатор.

Распределение Лапласа имеет более острый пик и более тяжёлые «хвосты», по сравнению с нормальным распределением, как можно видеть на Рис. 4. Дисперсия Лапласовского распределения равна [math]2C^2[/math].

Рис. 4. Сравнение нормального и Лапласовского распределений при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях.

Регуляризация в линейной регрессии[править]

В линейной регрессии моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Каждому объекту $x \in X^l$ соответствует признаковое описание $(f_{1}(x),\dots,f_{n}(x))$, где $f_{j}:X \rightarrow \mathbb{R}$ — числовые признаки. Модель алгоритмов для линейной регрессии состоит из функций вида:

$g(x, \beta) = \sum\limits_{j}^n \beta_{j} \,f_{j}(x)$

В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:

$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,

где $F = (f_{j}(x_{i}))_{l \times n}$ — матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ — целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ — вектор параметров. Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:

$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$

В итоге, используя сингулярное разложение для представления $F$ и проведя МНК-аппроксимизацию целевого вектора $y$, имеем выражение для нормы вектора $\beta$:

$\|\beta^*\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2$

К сожалению, могут возникнуть проблемы мультиколлинеарности и переобучения в случае, если ковариационная матрица $\sum = F^T F$ плохо обусловлена. Одним из способов борьбы с этими проблемами, как говорилось ранее, является регуляризация.

В статье о вариациях регрессии представлены модификации линейной регресиии с различными регуляризаторами ($L_{1}$ и $L_{2}$) и их отличие. Описание в данном разделе будет похожим, однако здесь будет рассмотрен эффект от добавления регуляризаторов немного подробнее.

Гребневая регрессия[править]

В гребневой регрессии к функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:

[math]Q_{\lambda}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||^2[/math]

Итоговое выражение для параметра $\beta$:

[math]\beta_{\tau}^* = (F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^Ty[/math]

Таким образом, перед обращением матрицы к ней добавляется "гребень" — диагональная матрица $\tau I_{n}$. При этом все её собственные значения увеличиваются на $\tau$, а собственные векторы не изменяются. В результате матрица становится хорошо обусловленной, оставаясь в то же время «похожей» на исходную.

Оценим эффект, который оказывает добавление гребня. Выразим регуляризованное МНК-решение через сингулярное разложение:

$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$

Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:

$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag \left(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \right)V^Ty = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$

Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.

В сравнении с нерегуляризованным случаем, уменьшается и норма вектора $\beta$:

$\|\beta_{\tau}^*\|^2 = \| D^2(D^2 + \tau I_{n})^{-1}D^{-1}V^{T}y)\|^2 = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j} + \tau}(v_{j}^Ty)^2 < \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2 = \|\beta^*\|^2$

Поэтому данный метод называют также сжатие или сокращение весов.

Из формул видно, что по мере увеличения параметра $\tau$ вектор коэффициентов $\beta_{\tau}^*$ становится всё более устойчивым и жёстко определённым. Фактически, происходит понижение эффективной размерности решения — это второй смысл термина сжатие. Роль размерности играет след проекционной матрицы.

В нерегуляризованном случае:

$n_{effective} = tr\:F(F^TF)^{-1}F^T = tr\:(F^TF)^{-1}F^TF = tr\:I_{n} = n$

В случае с гребнем:

$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag \left(\dfrac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}\right) = \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{\lambda_{j}} < n$

Лассо регрессия[править]

В лассо регрессии к функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:

[math]Q_{\tau}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||[/math]

Запишем систему для этой регрессии в виде минимизации неизменного функционала $Q$ при неравенстве-ограничении:

$\begin{cases} Q(\beta) = \| F\beta - y \|^2 \rightarrow \min\limits_{\beta} \\ \sum\limits_{j=1}^n|\beta_{j}| \leq \chi \\ \end{cases}$

Так как используется $L_{1}$-регуляризатор, коэффициенты $\beta_{j}$ постепенно обнуляются с уменьшением $\chi$. Происходит отбор признаков, поэтому параметр $\chi$ называют еще селективностью. Параметр $\chi$ "зажимает" вектор коэффициентов $\beta$, отсюда и название метода — лассо (англ. LASSO, least absolute shrinkage and selection operator).

Сравнение гребневой и лассо регрессий[править]

Основное различие лассо и гребневой регрессий заключается в том, что первая может приводить к обращению некоторых независимых переменных в ноль (используется $L_{1}$-регуляризатор), тогда как вторая уменьшает их до значений, близких к нулю (используется $L_{2}$-регуляризатор).

Продублируем наглядный пример из статьи о вариациях регрессии. Рассмотрим для простоты двумерное пространство независимых переменных. В случае лассо регрессии органичение на коэффициенты представляет собой ромб ([math]|\beta_1| + |\beta_2| \leq t[/math]), в случае гребневой регрессии — круг ([math]\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq t^2[/math]). Необходимо минимизировать функцию ошибки, но при этом соблюсти ограничения на коэффициенты. С геометрической точки зрения задача состоит в том, чтобы найти точку касания линии, отражающей функцию ошибки с фигурой, отражающей ограничения на [math]\beta[/math]. Из Рис. 5 интуитивно понятно, что в случае лассо регрессии эта точка с большой вероятностью будет находиться на углах ромба, то есть лежать на оси, тогда как в случае гребневой регрессии такое происходит очень редко. Если точка пересечения лежит на оси, один из коэффициентов будет равен нулю, а значит, значение соответствующей независимой переменной не будет учитываться.

Рис. 5. Сравнение лассо (слева) и гребневой (справа) регрессий, пример для двумерного пространства независимых переменных.
Бирюзовые области изображают ограничения на коэффициенты [math]\beta[/math], эллипсы — некоторые значения функции наименьшей квадратичной ошибки.

Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:

$\beta^* = argmin \left(\sum\limits_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2\right)$
$\beta_{j}^* = y_{j}$

В случае с гребневой регрессией:

$\beta_{j}^* = \dfrac{y_{j}}{1 + \lambda}$

В случае с лассо регрессией:

$\beta_{j}^* = \begin{cases} y_{j} - \lambda / 2, y_{j} > \lambda / 2 \\ y_{j} + \lambda / 2, y_{j} < -\lambda / 2 \\ 0, |y_{j}| \leq \lambda / 2 \end{cases}$

В итоге на Рис. 6 на графиках с зависимостями $\beta_{j}^*$ от $y_{j}$ можно увидеть описанные ранее особенности данных регуляризованных линейных регрессий.

Рис. 6. Сравнение лассо и гребневой регрессий, пример с простой модельной задачи.

Регуляризация в алгоритмах[править]

Градиентный спуск[править]

Алгоритм градиентного спуска используют для нахождения аппроксимирующей зависимости, определяя вектор весов [math]w \in \mathbb{R}^n[/math], при котором достигается минимум эмпирического риска:

[math]Q(w, X^l)=\sum\limits_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, \langle w, x_{i} \rangle) \rightarrow \min\limits_{w}[/math]

В этом методе выбирается некоторое начальное приближение для вектора весов [math]w[/math], затем запускается итерационный процесс, на каждом шаге которого вектор $w$ изменяется в направлении наиболее быстрого убывания функционала $Q$ — противоположно вектору градиента [math]Q'(w)=(\dfrac{\partial Q^(w)}{\partial w_{j}})_{j=1}^n[/math]:

[math]w := w - \eta Q'(w)[/math],

где [math]\eta \gt 0[/math] — величина шага в направлении антиградиента.

Регуляризация — одна из эвристик улучшения градиентных методов обучения. Основным способом уменьшить переобучение является квадратичная регуляризация, называемая также сокращением весов. Чтобы ограничить рост абсолютных значений весов, к минимизируемому функционалу [math]Q(w)[/math] добавляется штрафное слагаемое:

[math]Q_{\tau}(w) = Q(w) + \dfrac{\tau}{2}\|w\|^2[/math]

Это приводит к появлению аддитивной поправки в градиенте:

[math]Q_{\tau}'(w) = Q′(w) + \tau[/math]

В результате правило обновления весов принимает вид:

[math]w := w(1 - \eta \tau) - \eta Q'(w)[/math]

Таким образом, вся модификация сводится к появлению неотрицательного множителя [math](1 − \eta \tau)[/math], приводящего к постоянному уменьшению весов.

Регуляризация предовтращает паралич, повышает устойчивость весов в случае мультиколлинеарности, повышает обобщающую способность алгоритма и снижает риск переобучения. Однако есть и недостатки — параметр [math]\tau[/math] необходимо выбирать с помощью кросс-валидации, что связано с большими вычислительными затратами.

Метод опорных векторов[править]

Метод опорных векторов (SVM) используется для задач классификации и регрессии. В нем строится гиперплоскость, разделяющая объекты выборки оптимальным образом.

К сожалению, зачастую выборка является линейно неразделимой. В таком случае приходится "ослаблять ограничения", позволяя некоторым объектам попадать на территорию другого класса. Для каждого объекта от отступа отнимается некоторая положительная величина $\xi_i$, но требуется, чтобы введенные поправки были минимальны. В итоге постановка задачи SVM с мягким отступом (англ. soft-margin SVM) выглядит следующим образом: $\begin{cases} \dfrac{1}{2} \lVert w \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^l \xi_i \to \min\limits_{w, b, \xi} \\ M_i(w, b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, \ldots, l \\ \xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, l \\ \end{cases}$

Как показано в соответствующем данному методу разделе, эквивалентной задачей безусловной минимизации является: $Q(w, b) = \dfrac{1}{2C} \lVert w \rVert^2 + \sum\limits_{i=1}^l \left(1 - M_i(w, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$

В силу неравенства $[M_{i} < 0] \leq (1 - M_{i})_{+}$, функционал $Q(w, b)$ можно рассматривать как верхнюю оценку эмпирического риска, к которому добавлен регуляризатор $\dfrac{1}{2C} \|w\|^2$.

С введением регуляризатора устраняется проблема мультиколлинеарности, повышается устойчивость алгоритма, улучшается его обобщающая способность.

В результате получаем, что принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости или максимизации ширины разделяющей полосы в случае неразделимой выборки тесно связан с $L_{2}$-регуляризацией, которая возникает естественным образом из постановки задачи.

Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.

  • Метод релевантных векторов (англ. RVM, Relevance vector Machine):
$\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^l\left(\ln w_{i} + \dfrac{\lambda_{i}^2}{w_{i}}\right)$
  • Метод опорных векторов с лассо (англ. LASSO SVM):
$\mu \sum\limits_{i=1}^n|w_{i}|$
  • Метод опорных признаков (англ. Support feature machine):
$\sum\limits_{i=1}^nR_{\mu}(w_{i}), \begin{cases} 2 \mu |w_{i}|, |w_{i}|<\mu \\ \mu^2 + w_{i}^2, |w_{i}| \geq \mu \end{cases}$

Другие использования регуляризации[править]

Логистическая регрессия[править]

Как было показано в мотивационном примере, для логистической регрессии может быть полезно использовать регуляризацию.

Для настройки вектора коэффициентов $\beta$ по обучающей выборке $X^l$ максимизируют логарифм правдоподобия:

$L(\beta, X^l) = log_{2}\prod\limits_{i=1}^lp(x_{i}, y_{i}) \rightarrow \max\limits_{\beta}$
$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) + const(\beta) \rightarrow \max\limits_{\beta}$

$L_{2}$-регуляризация:

$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \| \beta \|^2 + const(\beta) \rightarrow \max\limits_{\beta}$

$L_{1}$-регуляризация:

$L(\beta, X^l) = \sum\limits_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \|\beta \|_{1} + const(\beta) \rightarrow \max\limits_{\beta}$

Аналогично можно использовать и другие регуляризаторы.

Нейронные сети[править]

Регуляризация также используется и в нейронных сетях для борьбы со слишком большими весами сети и переобучением. Однако, в этом случае зануление коэффициентов при использовании $L_{1}$-регуляризатора не несет в себе смысл "отбора признаков", как в случае с линейными моделями. К сожалению, регуляризация не снижает число параметров и не упрощает структуру сети.

Для нейронной сети помимо добавления штрафного слагаемого к эмпирическому риску активно используют и другой метод борьбы с переобучением — прореживание сети (англ. dropout), в ходе которого упрощают сеть, руководствуясь правилом — если функция ошибки не изменяется, то сеть можно упрощать и дальше. Подробнее об этом можно почитать в статье, рассказывающей о практике реализации нейронных сетей.

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]