Регулярные языки: два определения и их эквивалентность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Изменение форматирования)
Строка 27: Строка 27:
  
 
*'''<tex>Reg \subset Reg'</tex>'''
 
*'''<tex>Reg \subset Reg'</tex>'''
*:По определению <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>.
+
По определению <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>.
 
Рассмотрим любое множество <tex> R_i </tex> и любое надрегулярное множество <tex> R </tex>: <tex>R_i \subset R</tex> (следует из определения <tex>R_i</tex> и определения надрегулярного множества).
 
Рассмотрим любое множество <tex> R_i </tex> и любое надрегулярное множество <tex> R </tex>: <tex>R_i \subset R</tex> (следует из определения <tex>R_i</tex> и определения надрегулярного множества).
*:Это верно для любого надрегулярного множества <tex>R</tex>, следовательно <tex> R_i \subset Reg'</tex>. Также это выполнено для любого <tex> R_i </tex>, значит <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' </tex>.
+
Это верно для любого надрегулярного множества <tex>R</tex>, следовательно <tex> R_i \subset Reg'</tex>. Также это выполнено для любого <tex> R_i </tex>, значит <tex> \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' </tex>.
  
 
*'''<tex>Reg' \subset Reg</tex>'''
 
*'''<tex>Reg' \subset Reg</tex>'''
*:Докажем, что <tex> Reg </tex> является надрегулярным множеством. Для этого проверим, выполняются ли свойства надрегулярного множества на нём:  
+
Докажем, что <tex> Reg </tex> является надрегулярным множеством. Для этого проверим, выполняются ли свойства надрегулярного множества на нём:  
*# <tex> R_0 \subset Reg </tex> {{---}} выполнено (по определению <tex>Reg</tex>).
+
# <tex> R_0 \subset Reg </tex> {{---}} выполнено (по определению <tex>Reg</tex>).
*# Рассмотрим <tex>L_1, L_2 \in Reg</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то <tex> \exists i : L_1\in R_i </tex> и <tex> \exists j : L_2 \in R_j  </tex>. Тогда из определения <tex> Reg </tex> следует, что <tex> L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то получаем, что <tex> L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg </tex>. Следовательно, второе свойство также выполнено.
+
# Рассмотрим <tex>L_1, L_2 \in Reg</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то <tex> \exists i : L_1\in R_i </tex> и <tex> \exists j : L_2 \in R_j  </tex>. Тогда из определения <tex> Reg </tex> следует, что <tex> L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}</tex>. Так как <tex>Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i</tex>, то получаем, что <tex> L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg </tex>. Следовательно, второе свойство также выполнено.
*: Значит, <tex>Reg</tex> {{---}} надрегулярное множество. А так как <tex>Reg'=\bigcap\limits_{\text{R- nadreg}}R</tex>, то <tex>Reg' \subset Reg</tex>.
+
Значит, <tex>Reg</tex> {{---}} надрегулярное множество. А так как <tex>Reg'=\bigcap\limits_{\text{R- nadreg}}R</tex>, то <tex>Reg' \subset Reg</tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 10:57, 17 января 2012

Регулярные языки: два определения и их эквивалентность

Определение:
Регулярный язык [math] Reg [/math] над алфавитом [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} [/math] — язык, который может быть получен из букв алфавита при помощи последовательных применений операций объединения, конкатенации или итерации и никаких других, то есть:

обозначим [math]R_0=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\} , \ldots, \left\{c_k \right\} \right\}[/math],

определим [math]R_{i+1}[/math] через [math]R_i[/math]: [math]R_{i+1} = R_i \cup \left\{L_1 \cup L_2, L_1L_2, L_1^* | L_1, L_2 \in R_i\right\}[/math],

тогда: [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math].


Определение:
Пусть задан алфавит [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, \ldots ,c_k \right\} [/math].

Множество [math]R[/math] будем называть надрегулярным, если:

  1. [math]R_0 \subset R[/math], где [math]R_0=\left\{\varnothing, \left\{\varepsilon \right\}, \left\{c_1 \right\}, \left\{c_2 \right\}, \ldots, \left\{c_k \right\} \right\}[/math],
  2. [math] L_1, L_2 \in R \Rightarrow L_1 \cup L_2 \in R, L_1L_2 \in R, L_1^* \in R[/math].
Тогда регулярным языком [math]Reg'[/math] над алфавитом [math] \Sigma = \left\{c_1, c_2, ... ,c_k \right\} [/math] называется пересечение всех надрегулярных множеств: [math]Reg'=\bigcap\limits_{R - nadreg}R[/math].


Теорема:
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем, что [math]Reg \subset Reg'[/math] и [math]Reg' \subset Reg[/math].

  • [math]Reg \subset Reg'[/math]

По определению [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math]. Рассмотрим любое множество [math] R_i [/math] и любое надрегулярное множество [math] R [/math]: [math]R_i \subset R[/math] (следует из определения [math]R_i[/math] и определения надрегулярного множества). Это верно для любого надрегулярного множества [math]R[/math], следовательно [math] R_i \subset Reg'[/math]. Также это выполнено для любого [math] R_i [/math], значит [math] \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i \subset Reg' [/math].

  • [math]Reg' \subset Reg[/math]

Докажем, что [math] Reg [/math] является надрегулярным множеством. Для этого проверим, выполняются ли свойства надрегулярного множества на нём:

  1. [math] R_0 \subset Reg [/math] — выполнено (по определению [math]Reg[/math]).
  2. Рассмотрим [math]L_1, L_2 \in Reg[/math]. Так как [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math], то [math] \exists i : L_1\in R_i [/math] и [math] \exists j : L_2 \in R_j [/math]. Тогда из определения [math] Reg [/math] следует, что [math] L_1L_2 \in R_{max(i, j)+1}, L_1 \cup L_2\in R_{max(i, j)+1}, L_1^* \in R_{i + 1}[/math]. Так как [math]Reg = \bigcup\limits_{i=0}^{\infty}R_i[/math], то получаем, что [math] L_1L_2 \in Reg, L_1 \cup L_2\in Reg, L_1^* \in Reg [/math]. Следовательно, второе свойство также выполнено.
Значит, [math]Reg[/math] — надрегулярное множество. А так как [math]Reg'=\bigcap\limits_{\text{R- nadreg}}R[/math], то [math]Reg' \subset Reg[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)