{{В разработке}}Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества <tex> \mathbb {N}^t </tex> в <tex> \mathbb {N} </tex>, где <tex> t </tex> - любое натуральное число.Также будем считать что <tex> 0</tex> натуральное число. == #перенаправление [[Примитивно рекурсивные функции ===== Основные определения ===Рассмотрим следующие правила преобразования функций.* Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f(x_1,\ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>n </tex>-местных функций <tex> g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex> - местная функция <tex> F = f(g_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_n)) </tex>. Это правило называется правилом подстановки* Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f </tex> и <tex> k + 2 </tex>-местную функцию <tex> h </tex>. Тогда после преобразования у нас будет <tex> k+1 </tex> -местная функция <tex> g </tex>, которая определена следующим образом: : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,0)=f(x_1,\ldots,x_n)</tex>: <tex>g(x_1,\ldots,x_n,y+1)=h(x_1,\ldots,x_n,y,g(x_1,\ldots, x_n,y))</tex>: Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу <tex> y </tex>.{{Определение|definition='''Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> I(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n </tex>.}}Заметим, что если <tex> f </tex> {{---}} <tex> n </tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb {N}^{n} </tex>, так как <tex> f </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> F(x,y) = f(g(y),h(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> F(x,y,z) = f(g(P_{2,2}(x,y)),h(P_{2,1}(x,y),P_{2,1}(x,y),P_{2,2}(x,y)) </tex>, но если <tex> F </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.В дальнейшем вместо <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>.=== Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях ======= ''' n '''-местный ноль ====<tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов.Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex><tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex><tex> \textbf 0^{1}(y+1) = h(y,\textbf 0^{1}(y)) </tex>, где <tex> h(x,y) = P_{2,1}(x,y) </tex>Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex><tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex><tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = h(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> h(x,y) = P_{n,n}(x,y) </tex>Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> I(\textbf{M-1}) </tex><tex> \textbf M^n </tex> - n местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом.==== Сложения ====<tex> sum(x,0) = \textbf P_{1,1}(x) </tex><tex> sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) </tex> , где <tex> h(x,y,z)=I(P_{3,3}(x,y,z)) </tex>==== Умножения ====<tex> prod(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex><tex> prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z)=sum(P_{3,1}(x,y,z),P_{3,3}(x,y,z)) </tex>==== Вычитания ====Если <tex> x < y </tex>, то <tex> sub(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> sub(x,y) = x - y </tex>.Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> sub_{1}(x) = x - 1 </tex> <tex> sub_1(0) = \textbf 0 </tex><tex> sub_1(x+1) = h(x,sub_1(x)) </tex>, где <tex> h(x,y) = P_{2,1}(x,y) </tex>Теперь рассмотрим <tex> sub(x,y) </tex><tex> sub(x,0) = P_{1,1}(x) </tex><tex> sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) =sub_1(P_{3,3}(x,y,z)) </tex>==== Операции сравнения ====<tex> eq(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> eq(x,y) = 0 </tex><tex> le(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le y </tex>, иначе <tex> lq(x,y) = 0 </tex><tex> lower(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> lower(x,y) = 0 </tex>Сначала выразим <tex> eq_{0}(x) = eq(x,0) </tex><tex> eq_0(0) =I(\textbf 0) </tex><tex> eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) </tex> , где <tex> h(y,eq(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex><tex> le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) </tex><tex> eq(x,y) = mul(le(x,y),le(y,x)) </tex><tex> lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),P_{1,1}(y))) </tex>==== Деление ==== <tex> divide(x,y) = \frac{x}{y} </tex>, если <tex> y > 0 </tex>, иначе <tex> divide(x,y) = 0 </tex>divmax(y,0) = 0divmax(y,x+1) = h(y,x,divmax(x)), где <tex> h(y,x,z) = if (x+1 - divmax(x) == y) then x+1 else y add(mul(eq(sub(I(x+1),z),P_{1,1}(y)),I(x)),Сначала выразим <tex> mod(x,y) </tex> - модуль от деления.<tex> count(x,y) =]]
