Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества <tex> \mathbb {N}^t </tex> в <tex> \mathbb {N} </tex>, где <tex> t </tex> - любое натуральное число.Также будем считать что <tex> 0</tex> натуральное число. == Основные определения ==Рассмотрим следующие правила преобразования функций: * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f(x_1,\ldots,x_k) </tex> и <tex> k </tex> <tex>n </tex>-местных функций <tex> g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) </tex>. Тогда после преобразования у нас появится <tex> n </tex> - местная функция <tex> F = f(g_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_n)) </tex>. : Это правило называется правилом подстановки * Рассмотрим <tex> k </tex>-местную функцию <tex> f </tex> и <tex> k + 2 </tex>-местную функцию <tex> h </tex>. Тогда после преобразования у нас будет <tex> k+1 </tex> -местная функция <tex> g </tex>, которая определена следующим образом: : <tex>g(x_1,\ldots,x_n,0)=f(x_1,\ldots,x_n)</tex>: <tex>g(x_1,\ldots,x_n,y+1)=h(x_1,\ldots,x_n,y,g(x_1,\ldots, x_n,y))</tex>: Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу <tex> y </tex>. {{Определение|definition='''#перенаправление [[Примитивно рекурсивными''' называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции <tex> \textbf 0 </tex>, функции <tex> I(x) = x + 1, </tex> и набора функций <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,</tex> где <tex> k \le n </tex>. }}Заметим, что если <tex> f </tex> {{---}} <tex> n </tex>-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве <tex> \mathbb {N}^{n} </tex>, так как <tex> f </tex> получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время. Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:*В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка <tex> F(x,y) = f(g(y),h(x,x,y)) </tex> эквивалентна <tex> F(x,y,z) = f(g(P_{2,2}(x,y)),h(P_{2,1}(x,y),P_{2,1}(x,y),P_{2,2}(x,y))) </tex>, но если <tex> F </tex> не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.*В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.В дальнейшем вместо <tex> P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) </tex> будем писать просто <tex> x_k </tex>, подразумевая требуемое нам <tex> n </tex>. == Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях == === ''' n '''-местный ноль ===<tex> \textbf 0 </tex> - функция нуля аргументов. Выразим сначала <tex> \textbf 0^1 </tex> <tex> \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 </tex> <tex> \textbf 0^{1}(y+1) = h(y,\textbf 0^{1}(y)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex> Теперь выразим <tex> \textbf 0^n </tex> <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} </tex> <tex> \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = h(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) </tex>, где <tex> h(x_1,\ldots, x_n,y) = y </tex> Константа <tex> \textbf M </tex> равна <tex> I(\textbf{M-1}) </tex> <tex> \textbf M^n </tex> - n местная константа, получается аналогичным к <tex> \textbf 0^n </tex> образом. === Сложения ===<tex> sum(x,0) = x </tex> <tex> sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) </tex> , где <tex> h(x,y,z)=I(z) </tex> === Умножения ===<tex> prod(x,0) = \textbf 0^1(x) </tex> <tex> prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z)=sum(x,z) </tex> === Вычитания ===Если <tex> x < y </tex>, то <tex> sub(x,y) = 0 </tex> , иначе <tex> sub(x,y) = x - y </tex>. Рассмотрим сначала вычитания единицы <tex> sub_{1}(x) = x - 1 </tex> <tex> sub_1(0) = \textbf 0 </tex> <tex> sub_1(x+1) = h(x,sub_1(x)) </tex>, где <tex> h(x,y) = y </tex> Теперь рассмотрим <tex> sub(x,y) </tex> <tex> sub(x,0) = x </tex> <tex> sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) =sub_1(z) </tex> === Операции сравнения ===<tex> eq(x,y) = 1 </tex> если <tex> x = y </tex>, иначе <tex> eq(x,y) = 0 </tex> <tex> le(x,y) = 1 </tex> если <tex> x \le y </tex>, иначе <tex> lq(x,y) = 0 </tex><tex> lower(x,y) = 1 </tex> если <tex> x < y </tex>, иначе <tex> lower(x,y) = 0 </tex> Сначала выразим <tex> eq_{0}(x) = eq(x,0) </tex> <tex> eq_0(0) =I(\textbf 0) </tex> <tex> eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) </tex> , где <tex> h(y,eq(y)) = \textbf 0^2(x,y) </tex> Теперь все остальные функции <tex> le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) </tex> <tex> eq(x,y) = mul(le(x,y),le(y,x)) </tex> <tex> lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),y)) </tex> === IF === <tex> if(0,x,y) = y </tex> <tex> if(c+1,x,y) = h(c,x,y,if(c,x,y)) </tex> , где <tex> h(c,x,y,d) = x </tex> === Деление === <tex> divide(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor </tex>, если <tex> y > 0 </tex>. Если же <tex> y = 0 </tex>, то <tex> divide(x,0) </tex> и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами. Сначала определим <tex> divmax(x,y) </tex> {{---}} функция равна максимальному числу меньшему <tex> x </tex> и которое нацело делится на <tex> y </tex>. <tex> divmax(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> <tex> divmax(x+1,y) = h(x,y,divmax(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) = if(eq(sub(I(x),z),y),I(x),z) </tex>, или не формально если <tex> x+1 - y = z </tex> то <tex> h(x,y,z) = x+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = y </tex> Теперь само деления <tex> divide(0,y) =\textbf 0^{1} </tex> <tex> divide(x,y) = h(x,y,divide(x,y)) </tex>, где <tex> h(x,y,z) = sum(z,eq(I(x),divmax(I(x),y))) </tex> или не формально если <tex> x+1~\vdots z </tex> то <tex> h(x,y,z) = z+1 </tex>, иначе <tex> h(x,y,z) = z </tex> Остаток от деления выражается так: <tex> mod(x,y) = sub(x,mul(y,divide(x,y))) </tex> === Работа со списками фиксированной длины===С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск <tex> n </tex> - того простого числа.Рассмотрим список из натуральны чисел <tex> [x_1,\ldots,x_n] </tex>, тогда ему в соответствия можно поставить число <tex> p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} </tex>, где <tex> p_i - i</tex>-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие <tex> i </tex> - тогоэлемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел. == Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций =={{Теорема|statement= Если для [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex> F </tex> существует примитивно рекурсивная функция <tex> T </tex>, такая что для любых аргументов <tex> args </tex> максимальное количество шагов, за которое будет посчитана <tex> F(x) </tex> на [[Машина Тьюринга|МТ]] равно <tex> T(args) </tex>, то <tex> F </tex> примитивно рекурсивная функция. |proof=Каждому состоянию MT поставим в соответствие список из четырех чисел <tex> [L,R,S,C] </tex>, где: <tex> L </tex> - состояние MT слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту MT. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. <tex> R </tex> - состояние MT справа от головки, представлено аналогично <tex> L </tex> только возле головки МТ находятся старшие разряды. <tex> S </tex> - номер текущего состояния <tex> C </tex> - символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция <tex> f([L,R,S,C]) </tex> принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние.Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в <tex> C </tex> записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в <tex> L </tex> и <tex> R </tex> в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в <tex> C </tex> записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в <tex> S </tex> записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода {{---}} примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций <tex> if </tex> следует что и <tex> f </tex> также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их <tex> IN </tex> и <tex> OUT </tex>. Рассмотрим функцию двух аргументов <tex> N([L,R,S,C],t) </tex> которая принимает состояние MT , число шагов <tex> t </tex> и возвращает состояние MT после <tex> t </tex> шагов.Покажем что N - примитивно рекурсивная функция. <tex> N([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] </tex> <tex> N([L,R,S,C],t+1) = h([L,R,S,C],t+1,N([L,R,S,C],t)) </tex> , где <tex> h([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = f([L1,R1,S1,C1]) </tex> Вместо <tex> t </tex> подставим <tex> T(args) </tex> и в итоге получим что <tex> F(args) = OUT(N(IN(args),T(args))) </tex> - примитивно рекурсивная функция. }}
