Изменения

'''Разреженная таблица''' (англ. ''sparse table'') позволяет решать задачу online static RMQ (получение минимума или максимума на отрезке, когда элементы массива не могут изменяться, а запросы поступают последовательно) за <tex>O(1)</tex> на запрос, с предподсчётом за <tex>O(N \log N)</tex> и использованием <tex>O(N \log N)</tex> памяти. {{Задача|definition == Постановка задачи RMQ ==Дан массив <tex>A[1..\ldots N]</tex>целых чисел. Поступают запросы вида <tex>(l, r)</tex>, на каждый запрос для каждого из которых требуется найти минимум в массиве среди элементов <tex>A</tex>[l], начиная с позиции <tex>A[l</tex> и заканчивая позицией <tex>+ 1], \ldots, A[r] </tex>.}} 

Разреженная таблица — двумерная структура данных <tex>ST[i, ][j]</tex>, для которой выполнено следующее:  <tex>ST[i,][j]=\min\left(A[i], A[i+1], ...\ldots, A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 .. \ldots \log N]</tex>.  Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объёмпамяти, занимаемый таблицей, равен <tex>O(N \log N)</tex>, и заполненными являются только те элементы, для которых <tex>i+2^j \le leqslant N </tex>. Простой метод построения таблицы заключён в следующем рекуррентном соотношении:$$ST[i][j]=\begin{cases}\min\left(ST[i][j-1], ST[i+2^{j-1}][j-1]\right),&\text{если $j > 0$;}\\A[i], &\text{если $j = 0$;}\end{cases}$$ == Идемпотентность ==Такая простота достигается за счет идемпотентности операции минимум: <tex>\min(a, a)=a</tex>. Это один из ключевых моментов этого метода, так как она позволяет нам корректно считать минимум в области пересечения отрезков.  Пусть $\circ$ — произвольная бинарная операция, которая удовлетворяет свойствам:* ассоциативности: $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $,* коммутативности: $a \circ b = b \circ a$, * идемпотентности: $a \circ a = a $. 

Простой метод построения таблицы заключён в следующем реккурентном соотношении: <tex>ST[i,j]{{Утверждение|statement=$a_l \circ a_{l+1} \circ \minldots \leftcirc a_r = (ST[i,j-a_l \circ a_{l+1], ST[i} \circ \ldots \circ a_{l +2^k}) \circ (a_{jr -1k}, j\circ a_{r -k + 1]} \circ \ldots \rightcirc a_r)</tex>$, что достигается за счет идемпотентности операции минимум: <tex>где $\frac{r - l}{2} \leqslant k \minleqslant r - l$.|proof=Отрезок $(aa_{r-k}, aa_{l + k})=a</tex>$ содержится в обоих операндах правой части. Значит, каждый элемент из него входит два раза. Это По коммутативности мы можем располагать элементы в любом порядке, по ассоциативности мы можем выполнять операции в произвольном порядке, поэтому повторяющие в правой части элементы мы можем расположить рядом друг с другом и затем по идемпотентности один из ключевых моментов этого методаних убрать. Переставляя оставшиеся элементы в правой затем легко получаем выражение в левой части.}}

<div>Дан запрос <tex>(l, r)</tex>. По нему найдём <tex>k = \max \{j| 2^j \le r - l + 1\}</tex>, т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка.ЗаметимИз выше доказанной теоремы следует, что <tex>\min(A[l]этот метод работает не только с операцией минимум, A[l+1]но и с любой идемпотентной, ассоциативной и коммутативной операцией..., A[r]) = \min\left(ST[l][k], ST[r-2^k+1][j]\right)</tex>. Заметим <tex>k</tex> зависит лишь от длины отрезка. Предпосчитаем эту величину за <tex>O(N\log N)</tex> следующим Таким образом: <tex>fl[x] = fl[\lfloor \frac{x}{2}\rfloor] + 1</tex>. Теперь мы можем находить <tex>k</tex> за <tex>O(1)</tex>. Таким образомполучаем целый класс задач, ответ на запрос происходит за константное времярешаемых разреженной таблицей.</div>

== См. также ==* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ | Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]* [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера | Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]* [[Сведение задачи RMQ к задаче LCA | Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]* [[ Heavy-light декомпозиция | Heavy-light декомпозиция]] == Источники информации==