Изменения

'''Разреженная таблица ''' (англ. ''sparse table'') позволяет решать задачу online static RMQ (получение минимума или максимума на отрезке, когда элементы массива не могут изменяться, а запросы поступают последовательно) за <tex>O(1)</tex> на запрос, с предподсчётом за <tex>O(N \log N)</tex> и использованием <tex>O(N \log N)</tex> памяти. {{Задача|definition == Постановка задачи RMQ ==Дан массив <tex>A[1..\ldots N]</tex>целых чисел. Поступают запросы вида <tex>(l, r)</tex>, на каждый запрос для каждого из которых требуется найти минимум в массиве среди элементов <tex>A</tex>[l], начиная с позиции <tex>A[l</tex> и заканчивая позицией <tex>+ 1], \ldots, A[r] </tex>.}} 

Разреженная таблица — двумерная структура данных <tex>ST[i, ][j]</tex>, для которой выполнено следующее:  <tex>ST[i,][j]=\min\left(A[i], A[i+1], ...\ldots, A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 \ldots \log N]</tex>.  Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объёмпамяти, занимаемый таблицей, равен <tex>O(N \log N)</tex>, и заполненными являются только те элементы, для которых <tex>i+2^j \le leqslant N </tex>. Простой метод построения таблицы заключён в следующем рекуррентном соотношении:$$ST[i][j]=\begin{cases}\min\left(ST[i][j-1], ST[i+2^{j-1}][j-1]\right),&\text{если $j > 0$;}\\A[i], &\text{если $j = 0$;}\end{cases}$$ == Идемпотентность ==Такая простота достигается за счет идемпотентности операции минимум: <tex>\min(a, a)=a</tex>. Это один из ключевых моментов этого метода, так как она позволяет нам корректно считать минимум в области пересечения отрезков.  Пусть $\circ$ — произвольная бинарная операция, которая удовлетворяет свойствам:* ассоциативности: $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $,* коммутативности: $a \circ b = b \circ a$, * идемпотентности: $a \circ a = a $.  {{Утверждение|statement=$a_l \circ a_{l+1} \circ \ldots \circ a_r = (a_l \circ a_{l+1} \circ \ldots \circ a_{l + k}) \circ (a_{r - k} \circ a_{r - k + 1} \circ \ldots \circ a_r)$, где $\frac{r - l}{2} \leqslant k \leqslant r - l$.|proof=Отрезок $(a_{r-k}, a_{l + k})$ содержится в обоих операндах правой части. Значит, каждый элемент из него входит два раза. По коммутативности мы можем располагать элементы в любом порядке, по ассоциативности мы можем выполнять операции в произвольном порядке, поэтому повторяющие в правой части элементы мы можем расположить рядом друг с другом и затем по идемпотентности один из них убрать. Переставляя оставшиеся элементы в правой затем легко получаем выражение в левой части.}}

Дан запрос <div> Предпосчитаем для длины отрезка <tex>l</tex> величину <tex>\lfloor \log_2l \rfloor</tex>. Для этого введем функцию <tex>fl</tex>(lот ''floor'', rт.к. логарифм округляется вниз):  '''int''' '''fl'''('''int''' len): '''if''' len <tex>=</tex>. По нему найдём 1 '''return''' 0 '''else''' '''return''' fl(<tex>\max j: lfloor \cfrac{len}{2^j }\le r - l rfloor</tex>) + 1 Вычисление <tex>fl[l]</tex>происходит за <tex>O(\log (l))</tex>. А так как длина может принимать <tex>N</tex> различных значений, тто суммарное время предпосчета составляет <tex>O(N\log N)</tex>.е Пусть теперь дан запрос <tex>(l, r)</tex>. логарифм длины запрашиваемого отрезка. Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], ...\ldots, A[r]) = \min\left(ST[l, ][j], ST[r-2^j+1,][j]\right)</tex>. Таким образом, если находить где <tex>j= \max \{k \mid 2^k \leqslant r - l + 1\}</tex> , то есть логарифм длины запрашиваемого отрезка, округленный вниз. Но эту величину мы уже предпосчитали, поэтому запрос выполняется за <tex>O(1)</tex> (например. [[Файл:SparseTableRMQ.png|right|Решение задачи RMQ на разреженной таблице]] Из выше доказанной теоремы следует, что этот метод работает не только с операцией минимум, но и с любой идемпотентной, ассоциативной и коммутативной операцией. Таким образом мы получаем целый класс задач, предподсчётом за решаемых разреженной таблицей.<texdiv style="clear:both">O(N \log N)</texdiv> для всех возможных длин отрезков == См. также ==* [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ | Сведение задачи LCA к задаче RMQ]]* [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера | Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]* [[Сведение задачи RMQ к задаче LCA | Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]* [[ Heavy-light декомпозиция | Heavy-light декомпозиция]] == Источники информации==* ''Bender, M.A., Farach-Colton, M. et al.'' — '''Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs'''. — J. Algorithms 57(2) (2005), можно отвечать на запрос за константное время— с. 75–94. [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]