Решение RMQ с помощью разреженной таблицы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(добавлен источник)
Строка 3: Строка 3:
 
Дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Поступают запросы вида <tex>(l, r)</tex>, на каждый запрос требуется найти минимум в массиве <tex>A</tex>, начиная с позиции <tex>l</tex> и заканчивая позицией <tex>r</tex>.
 
Дан массив <tex>A[1..N]</tex>. Поступают запросы вида <tex>(l, r)</tex>, на каждый запрос требуется найти минимум в массиве <tex>A</tex>, начиная с позиции <tex>l</tex> и заканчивая позицией <tex>r</tex>.
 
== Разреженная таблица ==
 
== Разреженная таблица ==
Разреженная таблица — двумерная структура данных <tex>ST[i, j]</tex>, для которой выполнено следующее: <tex>ST[i,j]=\min\left(A[i], A[i+1], ..., A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 \log N]</tex>. Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объём, занимаемый таблицей, равен <tex>O(N \log N)</tex>, и заполненными являются только те элементы, для которых <tex>i+2^j \le N </tex>.
+
Разреженная таблица — двумерная структура данных <tex>ST[i, j]</tex>, для которой выполнено следующее: <tex>ST[i,j]=\min\left(A[i], A[i+1], ..., A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 .. \log N]</tex>. Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объём, занимаемый таблицей, равен <tex>O(N \log N)</tex>, и заполненными являются только те элементы, для которых <tex>i+2^j \le N </tex>.
  
 
Простой метод построения таблицы заключён в следующем реккурентном соотношении: <tex>ST[i,j]=\min\left(ST[i,j-1], ST[i+2^{j-1}, j-1]\right)</tex>.
 
Простой метод построения таблицы заключён в следующем реккурентном соотношении: <tex>ST[i,j]=\min\left(ST[i,j-1], ST[i+2^{j-1}, j-1]\right)</tex>.
Строка 10: Строка 10:
 
<div>Дан запрос <tex>(l, r)</tex>. По нему найдём <tex>\max j: 2^j \le r - l + 1</tex>, т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка.
 
<div>Дан запрос <tex>(l, r)</tex>. По нему найдём <tex>\max j: 2^j \le r - l + 1</tex>, т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка.
 
Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l, j], ST[r-2^j+1,j]\right)</tex>. Таким образом, если находить <tex>j</tex> за <tex>O(1)</tex> (например, предподсчётом за <tex>O(N \log N)</tex> для всех возможных длин отрезков), можно отвечать на запрос за константное время.</div>
 
Заметим, что <tex>\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l, j], ST[r-2^j+1,j]\right)</tex>. Таким образом, если находить <tex>j</tex> за <tex>O(1)</tex> (например, предподсчётом за <tex>O(N \log N)</tex> для всех возможных длин отрезков), можно отвечать на запрос за константное время.</div>
 +
== Источники ==
 +
* ''Bender, M.A., Farach-Colton, M. et al.'' '''Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs'''. — J. Algorithms 57(2) (2005) —  с.75–94.

Версия 22:58, 7 июня 2011

Разреженная таблица (англ. sparse table) позволяет решать задачу online static RMQ за [math]O(1)[/math] на запрос, с предподсчётом за [math]O(N \log N)[/math] и использованием [math]O(N \log N)[/math] памяти.

Постановка задачи RMQ

Дан массив [math]A[1..N][/math]. Поступают запросы вида [math](l, r)[/math], на каждый запрос требуется найти минимум в массиве [math]A[/math], начиная с позиции [math]l[/math] и заканчивая позицией [math]r[/math].

Разреженная таблица

Разреженная таблица — двумерная структура данных [math]ST[i, j][/math], для которой выполнено следующее: [math]ST[i,j]=\min\left(A[i], A[i+1], ..., A[i+2^{j}-1]\right),\quad j \in [0 .. \log N][/math]. Иначе говоря, в этой таблице хранятся минимумы на всех отрезках, длины которых равны степеням двойки. Объём, занимаемый таблицей, равен [math]O(N \log N)[/math], и заполненными являются только те элементы, для которых [math]i+2^j \le N [/math].

Простой метод построения таблицы заключён в следующем реккурентном соотношении: [math]ST[i,j]=\min\left(ST[i,j-1], ST[i+2^{j-1}, j-1]\right)[/math].

Применение к задаче RMQ

Решение задачи RMQ на разреженной таблице
Дан запрос [math](l, r)[/math]. По нему найдём [math]\max j: 2^j \le r - l + 1[/math], т.е. логарифм длины запрашиваемого отрезка. Заметим, что [math]\min(A[l], A[l+1], ..., A[r]) = \min\left(ST[l, j], ST[r-2^j+1,j]\right)[/math]. Таким образом, если находить [math]j[/math] за [math]O(1)[/math] (например, предподсчётом за [math]O(N \log N)[/math] для всех возможных длин отрезков), можно отвечать на запрос за константное время.

Источники

  • Bender, M.A., Farach-Colton, M. et al. Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs. — J. Algorithms 57(2) (2005) — с.75–94.