СНМ (наивные реализации) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 5 участников)
Строка 9: Строка 9:
 
Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый. Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов <tex> x </tex> и <tex> y </tex> одному множеству достаточно сравнить <math> \mathrm{find (x)} </math> и <math> \mathrm{find(y)} </math>.
 
Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый. Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов <tex> x </tex> и <tex> y </tex> одному множеству достаточно сравнить <math> \mathrm{find (x)} </math> и <math> \mathrm{find(y)} </math>.
  
[[Файл:DSU_1_Example.png|500px|left|Пример работы СНМ]]
+
[[Файл:DSU_1_Example.png|500px|center|Пример работы СНМ]]
<br clear="all"/>
 
  
 
== Реализации ==
 
== Реализации ==
Строка 30: Строка 29:
 
Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в <tex> s[i] </tex> будет храниться номер множества, к которому принадлежит <tex> i </tex>. Этот номер отождествляет множество, <math> \mathrm{find} </math> возвращает именно его. Тогда <math> \mathrm{find} </math>, очевидно, будет работать за <tex>O(1)</tex>.
 
Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в <tex> s[i] </tex> будет храниться номер множества, к которому принадлежит <tex> i </tex>. Этот номер отождествляет множество, <math> \mathrm{find} </math> возвращает именно его. Тогда <math> \mathrm{find} </math>, очевидно, будет работать за <tex>O(1)</tex>.
  
Чтобы объединить множества <tex> x </tex> и <tex> y </tex>, надо изменить все <tex> s[i] </tex>, равные номеру множества <tex> x </tex>, на номер <tex> y </tex>. Тогда union работает за <tex>O(n)</tex>.
+
Чтобы объединить множества <tex> x </tex> и <tex> y </tex>, надо изменить все <tex> s[i] </tex>, равные номеру множества <tex> x </tex>, на номер <tex> y </tex>. Тогда <math> \mathrm{union} </math> работает за <tex>O(n)</tex>.
<code>
+
 
 
  '''int''' s[n]
 
  '''int''' s[n]
 
  '''func''' init():
 
  '''func''' init():
 
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 
         s[i] = i              <font color=green> // сначала каждый элемент лежит в своем множестве </font>
 
         s[i] = i              <font color=green> // сначала каждый элемент лежит в своем множестве </font>
</code>
+
 
<code>
 
 
  '''int''' find(k):
 
  '''int''' find(k):
 
     '''return''' s[k]
 
     '''return''' s[k]
</code>
+
 
<code>
 
 
  '''func''' union(x, y):
 
  '''func''' union(x, y):
 
     '''if''' s[x] == s[y]
 
     '''if''' s[x] == s[y]
Строка 50: Строка 47:
 
             '''if''' s[i] == t
 
             '''if''' s[i] == t
 
                 s[i] = s[x]
 
                 s[i] = s[x]
</code>
 
  
 
=== С помощью списка ===
 
=== С помощью списка ===
Строка 69: Строка 65:
 
Чтобы объединить два списка, нужно хранить ссылку на <tex> tail </tex>. Ее можно хранить в голове списка.
 
Чтобы объединить два списка, нужно хранить ссылку на <tex> tail </tex>. Ее можно хранить в голове списка.
  
<code>
+
'''struct''' SetItem
  '''int''' s[n]
+
    '''int''' data     
 +
    '''SetItem''' head
 +
    '''SetItem''' next
 +
    '''SetItem''' tail
 +
 
 +
  '''SetItem''' s[n]
 +
 
 
  '''func''' init():
 
  '''func''' init():
 
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 
         s[i].data = i
 
         s[i].data = i
 +
        s[i].head = s[i]       
 +
        s[i].tail = s[i]
 
         s[i].next = null
 
         s[i].next = null
        s[i].head = s[i]
+
 
</code>
+
  '''int''' find('''SetItem''' x):                       <font color=green> // подразумевается, что <tex> x </tex> {{ --- }} ссылка на один из элементов </font>
<code>
 
  '''int''' find(x): <font color=green> // подразумевается, что <tex> x </tex> {{ --- }} ссылка на один из элементов </font>
 
 
     '''return''' x.head.data
 
     '''return''' x.head.data
</code>
+
 
<code>
+
  '''func''' union('''SetItem''' x, '''SetItem''' y): <font color=green> // <tex> x </tex> и <tex> y </tex> {{ --- }} элементы множеств</font>
  '''func''' union('''int''' x, '''int''' y): <font color=green> // <tex> x </tex> и <tex> y </tex> {{ --- }} элементы множеств</font>
 
 
     x = x.head
 
     x = x.head
 
     y = y.head
 
     y = y.head
 
     '''if''' x == y
 
     '''if''' x == y
 
         '''return'''
 
         '''return'''
     <font color=green> // соединим списки </font>
+
     x.tail.next = y                        <font color=green> // соединим списки </font>
     x.tail.next = y
+
     x.tail = y.tail                        <font color=green> // сделаем корректную ссылку на <tex> tail </tex> в <tex> head</tex></font>
    <font color=green> // сделаем корректную ссылку на <tex> tail </tex> в <tex> head</tex></font>
+
     '''while''' y <tex> \neq </tex> null                        <font color=green> // скорректируем ссылки на <tex> head </tex> у элементов множества <tex> y </tex> </font>
     x.tail = y.tail
 
    <font color=green> // скорректируем ссылки на <tex> head </tex> у элементов множества <tex> y </tex> </font>
 
    '''while''' y <tex> \neq </tex> null
 
 
         y.head = x
 
         y.head = x
 
         y = y.next
 
         y = y.next
</code>
+
 
[[Файл:DSU_list_example.png|800px|left|thumb|Пример объединения двух множеств (union)]]
+
[[Файл:DSU_list_example.png|800px|center|Пример объединения двух множеств (union)]]
<br clear="all"/>
 
  
 
== Другие реализации ==
 
== Другие реализации ==
Строка 104: Строка 101:
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
 +
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2 Википедия {{---}} Система непересекающихся множеств]
 +
* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/104772/ Система непересекающихся множеств и её применения]
 
* Т. Кормен - Алгоритмы, построение и анализ. Второе издание. Часть V. Глава 21.
 
* Т. Кормен - Алгоритмы, построение и анализ. Второе издание. Часть V. Глава 21.
* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/104772/ Система непересекающихся множеств и её применения]
 
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Структуры данных]]

Текущая версия на 19:28, 4 сентября 2022

Система (лес, объединение) непересекающихся множеств (СНМ, disjoint set forest, DSF, disjoint set union, DSU) — иерархическая структура данных, позволяющая эффективно работать с множествами.

Описание

Структура хранит набор объектов (например, чисел от [math] 0 [/math] до [math] n - 1 [/math]) в виде непересекающихся множеств. У каждого множества есть конкретный представитель.

Определены две операции:

  • [math] \mathrm{union(x, y)} [/math] — объединяет множества, содержащие [math] x [/math] и [math] y [/math]
  • [math] \mathrm{find (x)} [/math] — возвращает представителя множества, в котором находится [math] x [/math]

Для любого элемента множества представитель всегда одинаковый. Поэтому чтобы проверить принадлежность элементов [math] x [/math] и [math] y [/math] одному множеству достаточно сравнить [math] \mathrm{find (x)} [/math] и [math] \mathrm{find(y)} [/math].

Пример работы СНМ

Реализации

С помощью массива

Пусть в массиве s хранятся номера множеств, в [math] s[i] [/math] будет храниться номер множества, к которому принадлежит [math] i [/math]. Этот номер отождествляет множество, [math] \mathrm{find} [/math] возвращает именно его. Тогда [math] \mathrm{find} [/math], очевидно, будет работать за [math]O(1)[/math].

Чтобы объединить множества [math] x [/math] и [math] y [/math], надо изменить все [math] s[i] [/math], равные номеру множества [math] x [/math], на номер [math] y [/math]. Тогда [math] \mathrm{union} [/math] работает за [math]O(n)[/math].

int s[n]
func init():
    for i = 0 to n - 1
        s[i] = i                // сначала каждый элемент лежит в своем множестве 
int find(k):
    return s[k]
func union(x, y):
    if s[x] == s[y]
        return
    else
        t = s[y]
        for i = 0 to n - 1
            if s[i] == t
                s[i] = s[x]

С помощью списка

Будем хранить множество в виде списка. Для каждого элемента списка храним ссылку на следующий элемент и указатель на [math] head [/math], который является представителем. Для того чтобы найти представителя, нужно перейти по ссылке на [math] head [/math]. Значит [math] \mathrm{find} [/math] работает за [math] O(1) [/math].

Для объединения множеств потребуется объединить два списка и обновить ссылки на [math] head [/math]. Таким образом, [math] \mathrm{union} [/math] работает за [math] O(n) [/math]. Чтобы объединить два списка, нужно хранить ссылку на [math] tail [/math]. Ее можно хранить в голове списка.

struct SetItem 
    int data       
    SetItem head
    SetItem next
    SetItem tail
SetItem s[n]
func init():
    for i = 0 to n - 1
        s[i].data = i
        s[i].head = s[i]         
        s[i].tail = s[i]
        s[i].next = null
int find(SetItem x):                         // подразумевается, что [math] x [/math] — ссылка на один из элементов 
    return x.head.data
func union(SetItem x, SetItem y):  // [math] x [/math] и [math] y [/math] — элементы множеств
    x = x.head
    y = y.head
    if x == y
        return
    x.tail.next = y                          // соединим списки 
    x.tail = y.tail                          // сделаем корректную ссылку на [math] tail [/math] в [math] head[/math]
    while y [math] \neq [/math] null                          // скорректируем ссылки на [math] head [/math] у элементов множества [math] y [/math] 
        y.head = x
        y = y.next
Пример объединения двух множеств (union)

Другие реализации

Источники информации