Изменения

Без использования дополнительных "улучшений", такое дерево может выродиться в линейный список, где <tex>\mathrm{get}</tex> будет работать за линейное время, и никакого выигрыша по сравнению с [[СНМ(наивные_реализации)|наивными реализацимиреализациями]] не будет. Выигрыш в скорости можно получить, используя две эвристики: '''объединение по рангу''' (union by rank) и '''сжатие пути''' (path compression).

Вместо того, чтобы явно хранить высоту дерева, можно хранить его ранг, который по сути является некой верхней оценкой высоты дерева. У дерева, состоящего ровно из одного элемента ранг равен <tex>10</tex>. При объединении дерево с меньшим рангом подвешивается к дереву с большим, и ранг объединенного дерева становится равным большему из этих двух рангов. Если ранги объединяемых деревьев равны, то не важно какое к какому дереву подвешивать, но ранг объединенного дерева следует делать большим на <tex>1</tex>.

'''function''' '''get'''(x: '''int'''): '''int''' '''if''' p[x] != x p[x] = get(p[x]) '''return''' p[x]

'''function''' '''union'''(x: '''int''', y: '''int'''): x = get(x) y = get(y) '''if''' x == y '''return''' '''if''' r[x] == r[y] r[x]++ '''if''' r[x] < r[y] p[x] = y '''else''' p[y] = x Также возможна реализация функции <tex>\mathrm{get}</tex> без использования <tex>\mathrm{O(\log n)}</tex> дополнительной памяти. ===='''get'''==== '''function''' '''get'''(x: '''int'''): '''int''' root = x '''while''' p[root] != root root = p[root] i = x '''while''' p[i] != i j = p[i] p[i] = root i = j '''return''' root

| ''<tex>\mathrm{union}</tex>'' || <tex>\mathrm{O(\log n)}</tex> || <tex>\mathrm{O(1\mathrm{\alpha(m, n)})}</tex>

Где <tex>m</tex> {{---}} общее количество операций, <tex>n</tex> {{---}} полное количество элементов, <tex>\mathrm{\alpha(m, n)}</tex> {{---}} функция, обратная к функции Аккермана (если <tex>m</tex> операций <tex>\mathrm{get }</tex> и <tex>n</tex> элементов).

!<tex>\mathbf{m \backslash n}</tex> !! <tex>\mathbf{0 }</tex> !! <tex>\mathbf{1 }</tex> !! <tex>\mathbf{2 }</tex> !! <tex>\mathbf{3 }</tex> !! <tex>\mathbf{4 }</tex> !! <tex>\mathbf{5}</tex>|- style = "text-align = center"| ! <tex>\mathbf{1 }</tex> || <tex>1 </tex> || <tex>2 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>8 </tex> || <tex>16 </tex> || <tex>32</tex>

| ! <tex>\mathbf{2 }</tex> || <tex>2 </tex> || <tex>4 </tex> || <tex>16 </tex> || <tex>65536 </tex> || <tex>2^{2^{16}}</tex> || <tex>2^{2^{2^{16}}}</tex>

| ! <tex>\mathbf{3 }</tex> || <tex>2 </tex> || <tex>16 </tex> || <tex>\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{17}</tex> || <tex>\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{A(3, 2)}</tex> || <tex>\cdots</tex> || <tex>\cdots</tex>

| ! <tex>\mathbf{4 }</tex> || <tex>2 </tex> || <tex>\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}_{17}</tex> || <tex>\cdots</tex> || <tex>\cdots</tex> || <tex>\cdots</tex> || <tex>\cdots</tex>

Функция, обратная функции Аккермана <tex>\mathrm{\alpha(m, n)}</tex>, равна минимальному <tex>i</tex> такому, что <tex>\mathrm{A \left (i, \left [\fracdfrac{m}{n} \right ] \right )} \geqslant \log n</tex>. Как видно из таблицы значений для функции Аккермана, обратная функция для любых значений, которые могут возникнуть при решении прикладных задач, не превышает 4, то есть можно считать, что операция <tex>\mathrm{get }</tex> выполняется за константное время.

Проведем анализ реализации с ранговой эвристикой. Будем доказывать, будем доказывать более слабую оценку (итерированный логарифм что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{get} = \mathrm{O(\log^{*}n)} </tex>.{{Определение|definition='''Итерированный логарифм''' (англ. ''Iterated logarithm'')<tex>\mathrm{\log^*n}</tex> — минимальное число логарифмирований <tex>n</tex>, необходимое для получения значения, не превосходящего <tex>1</tex>.}}'''Пример''': <tex>\mathrm{\log^*_2 16} = 3</tex> Рассмотрим <tex> a n </tex> операций <tex> \mathrm{union} </tex> и <tex> b m </tex> операций <tex> \mathrm{get} </tex> (. Можем считать, что число операций <tex> \mathrm{union} </tex> равно числу элементов множества, так как количество операций <tex>\mathrm{union}</tex> не превосходит количество элементов множества <tex>n</tex>. Заметим, что <tex>m\geqslant n</tex>, так как при каждом вызове операции <tex>\mathrm{union}</tex> b дважды вызывается операция <tex> a \mathrm{get}</tex>).Не теряя общности, будем считать, что <tex> \mathrm{union } </tex> принимает в качестве аргументов представителей,

<tex> \mathrm{K(v)} </tex> — количество вершин в поддереве, корнем которого является <tex> \mathrm{v }</tex>.

{{Утверждение

<tex> \mathrm{R(P(v))} > \geqslant \mathrm{R(v)} </tex>

Из Если <tex>\mathrm{v}</tex> — представитель множества, то <tex>\mathrm{P(v)}=\mathrm{v}</tex> и <tex> \mathrm{R(P(v))} = \mathrm{R(v)} </tex>. Иначе, из принципа работы функции <tex> \mathrm{getunion} </tex> следует:

#Между <tex> \mathrm{v } </tex> и <tex> \mathrm{P(v)} </tex> существует путь вида: <tex> \mathrm{v } \rightarrow \mathrm{L(v)} \rightarrow \mathrm{L(L(v))} \rightarrow \dots \rightarrow \mathrm{P(v)} </tex>.

{{Утверждение

<tex> \mathrm{R(v)} = i \Rightarrow {\mathrm{K(v)}} \geqslant {2^i }</tex>

#{{Утверждение|statement=<tex> \mathrm{R(v)} \leqslant \log_2a log_2n </tex>.#}}{{Утверждение|statement=Количество вершин ранга <tex> i \leqslant \dfrac{n} {a \over 2^i} </tex>.|proof=Если бы это было не так, то просуммировав количество вершин всех рангов, мы получили бы число большее <tex>n</tex>. Это противоречит условию, по которому <tex>n</tex> — число всех вершин. Значит утверждение верно.}}

Амортизационная стоимость <tex> \mathrm{get} = \mathrm{O(\log^{*}an)} </tex>

<center>Рассмотрим все вызовы функции <tex>S = {\sum_{\mathrm{get}} \limits} ({\sum_{v:v \in \mathrm{getu)}</tex>. В процессе выполнения каждой операции двигаемся вверх по одному из деревьев, заканчивая поиск в его корне. Если вершина <tex>u</tex> не корень и не сын корня,v \in T_1} \limits 1}+{\sum_{v:v \in то во время рекурсивных вызовов функции <tex>\mathrm{get(u)},v \in T_2} \limits 1} + {\sum_{v: \in </tex> текущее значение <tex>\mathrm{getR(L(u))},v \in T_3} \limits 1} ) </ b tex> возрастает.Пусть </tex>,m</centertex>где — количество вызовов операции <tex> {v \in \mathrm{get} (u)} </tex> означает, что ребро, начало которого находится в <tex> v n</tex>, было пройдено во время выполнения текущего — количество вызовов операции <tex> \mathrm{getunion(v, u)} </tex>, и <tex>m\geqslant n</tex>. Ребро Разделим все вершины на <tex> v 4</tex> эквивалентно вершине, в которой оно начинается.типа:

В силу того, что :1. <tex>u</tex> — корень. Таких вызовов <tex>\mathrm{get(u)}</tex> будет ровно <tex>m</tex>.:2. <tex>u</tex> — сын корня. Таких вызовов <tex>\sum_mathrm{vget(u)}</tex> будет не больше чем <tex>m</tex>.Оставшиеся вершины разделим на:v :3. Быстро растущие вызовы — такие что <tex>\mathrm{R(P(u))} \in geqslant i^{\mathrm{getR(u)}}</tex>,v где <tex>i</tex> — число из диапазона <tex dpi="150">e ^{\in T_1frac{1}{e} } < i < 2</tex> <tex dpi="150">(e ^{\limits frac{1} {e}}\approx </tex> <tex>1.44</tex><tex dpi= "150">)</tex>.:4. Медленно растущие вызовы — <tex>\mathrm{R(P(u))} < i^{\mathrm{OR(1u)}} </tex> получаем:.

Для первых двух типов вершин одна операция <centertex>\mathrm{get(u)}</tex>работает за истинное время <tex>S = \mathrm{O(1)} + {\sum_{\mathrm{get}} \limits} ~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get},v \in T_2} \limits} 1</b+ {\sum_{\mathrm{get}} \limits} ~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get}tex>,v поэтому их суммарное время работы не превышает <tex>2\in T_3} \limits} 1 / bcdot m</tex>.</center>

Во время При каждом вложенном вызове функции <tex> \mathrm{get(u)} </tex> после прохождения K ребер из второго класса для вершин третьего типа ранг по условию возрастает до <tex> i^{\mathrm{R(v_1u)} }</tex>. Ранг вершины может меняться в пределах от <tex>0</tex> до <tex>\geqslant x^{x^log_2n</tex>. Значит количество рекурсивных вызовов равняется количеству возведений в степень <tex>\mathrm{R(n)}</tex> числа <tex>i</tex>,необходимых для достижения числа <tex>\log_2n</tex>. Или что то же самое, количеству логарифмирований по основанию <tex>i</tex> числа <tex>\log_2n</tex> для получения <tex>1</tex> и еще одному логарифмированию для получения <tex>0</tex>.Количество логарифмирований описывается функцией <tex dpi="130">\log^*_{i} \left (\log_2 n \right )</tex>.С учетом последнего логарифмирования формула примет вид <tex dpi="130">\log^*_{i}n</tex>.^Тогда время работы <tex>m</tex> быстро растущих вызовов равно <tex>\mathrm{xO(m\cdot \log^{R(v* n)}}}}}} </tex>.

Из выше сказанного и первого следствия второго утверждения получаемПоскольку количество вершин с рангом <tex>k</tex> не превышает число <tex>\dfrac{n}{2^k}</tex>, что:то суммарное время работы медленно растущих вызовов равно

<texdpi="150"> \sum_u \limits i^{\mathrm{R(u)}}=\sum_{v:v k=0}^{\log n} \in limits \sum_{\mathrm{get{R(u)}=k}},v \in T_2limits i^k \leqslant \sum_{k=0}^{\log n} \limitsi^k \cdot \frac{n}{2^k} \leqslant n \mathrmcdot \sum_{k=0}^{\logn} \limits \dfrac{i^*_x(\log_2a)k}{2^k} = \mathrm{O(\log^*an)}</tex>.

 Для тогоВ итоге получаем, чтобы что суммарное время работы операции <tex> \mathrm{\log^*_xget(\log_2au)} </tex> существовал необходимо, чтобы равняется <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </tex>.  Рассмотрим сумму<center> <tex>{\sum_{T = \mathrm{get}O(m)} \limits} ~ {\sum_{v:v \in + \mathrm{get},v O(m\in T_3} cdot \limits} 1/b < {\sum_{\mathrm{get}} \limits} ~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get},v \in T_3} \limits} 1/a </tex>. </center> Из первого утверждения и в силу использования сжатия путей следует,что <tex> \mathrm{R(P(x)log^* n)}</tex> cтрого увеличивается при переходе по ребру из <tex> T_3 </tex>. Как максимум через <tex> x^{+\mathrm{RO(kn)}} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе <tex> T_3 </tex>. <center><tex>{\sum_{\mathrm{get}} \limits}~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get},v \in T_3} \limits} 1/a = {\sum_v \limits ~\sum_{\mathrm{get}: in ~ this ~ O(m\mathrm{get} ~ v cdot \in T_3} \limits } 1/a \leqslant \sum_v \limits xlog^{\mathrm{R(v*n + n)}} /a</tex>.</center> Из второго следствия второго утверждения следует:<center> С учетом того факта что <tex> {m\sum_{\mathrm{get}} \limits}~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get},v \in T_3} \limits} 1/a \leqslant \sum_{Rank=0}^{\log_2a} \limits {ax^{Rank} \over 2^{Rank} a}geqslant n</tex>.</center> При <tex> x < 2~</tex>:<center><tex>{\sum_{\mathrm{get}} \limits}~ {\sum_{v:v \in \mathrm{get},v \in T_3} \limits} 1/a\leqslant\sum_{Rank=0}^{\log_2a} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}\leqslant\sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}\leqslant{ 2 \over 2-x } = \mathrm{O(1)}</tex>.</center>   Итак амортизированное время работы равно <tex> S = \mathrm{O(1)} + \mathrm{O(\log^*xn)} + \mathrm{O(1)} = \mathrm{O(\log^*x)} </tex>.В силу того, что интервал <tex>(1.45; 2)</tex> не пустой, теорема доказана.

== Литература Источники информации==* [http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/104772/ Система непересекающихся множеств {{---}} описание этой реализации на habrahabr.ru]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Функция_Аккермана Функция Аккермана {{---}} Википедия]