Изменения

Без использования дополнительных "улучшений", такое дерево может выродиться в линейный список, где <tex>\mathrm{get}</tex> будет работать за линейное время, и никакого выигрыша по сравнению с [[СНМ(наивные_реализации)|наивными реализацимиреализациями]] не будет. Выигрыш в скорости можно получить, используя две эвристики: '''объединение по рангу''' (union by rank) и '''сжатие пути''' (path compression).

Вместо того, чтобы явно хранить высоту дерева, можно хранить его ранг, который по сути является некой верхней оценкой высоты дерева. У дерева, состоящего ровно из одного элемента ранг равен <tex>10</tex>. При объединении дерево с меньшим рангом подвешивается к дереву с большим, и ранг объединенного дерева становится равным большему из этих двух рангов. Если ранги объединяемых деревьев равны, то не важно какое к какому дереву подвешивать, но ранг объединенного дерева следует делать большим на <tex>1</tex>.

'''function''' '''get'''(x: '''int'''): '''int''' '''if''' p[x] != x p[x] = get(p[x]) '''return''' p[x]

'''function''' '''union'''(x: '''int''', y: '''int'''): x = get(x) y = get(y) '''if''' x == y '''return''' '''if''' r[x] == r[y] r[x]++ '''if''' r[x] < r[y] p[x] = y '''else''' p[y] = x Также возможна реализация функции <tex>\mathrm{get}</tex> без использования <tex>\mathrm{O(\log n)}</tex> дополнительной памяти. ===='''get'''==== '''function''' '''get'''(x: '''int'''): '''int''' root = x '''while''' p[root] != root root = p[root] i = x '''while''' p[i] != i j = p[i] p[i] = root i = j '''return''' root

Где <tex>m</tex> {{---}} общее количество операций, <tex>n</tex> {{---}} полное количество элементов, <tex>\mathrm{\alpha(m, n)}</tex> {{---}} функция, обратная к функции Аккермана (если <tex>m</tex> операций <tex>\mathrm{get }</tex> и <tex>n</tex> элементов).

Функция, обратная функции Аккермана <tex>\mathrm{\alpha(m, n)}</tex>, равна минимальному <tex>i</tex> такому, что <tex>\mathrm{A \left (i, \left [\dfrac{m}{n} \right ] \right )} \geqslant \log n</tex>. Как видно из таблицы значений для функции Аккермана, обратная функция для любых значений, которые могут возникнуть при решении прикладных задач, не превышает 4, то есть можно считать, что операция <tex>\mathrm{get }</tex> выполняется за константное время.

Проведем анализ реализации с ранговой эвристикой. Будем доказывать, будем доказывать более слабую оценку (итерированный логарифм что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{get} = \mathrm{O(\log^{*}n)} </tex>.{{Определение|definition='''Итерированный логарифм''' (англ. ''Iterated logarithm'')<tex>\mathrm{\log^*n}</tex> — минимальное число логарифмирований <tex>n</tex>, необходимое для получения значения, не превосходящего <tex>1</tex>.}}'''Пример''': <tex>\mathrm{\log^*_2 16} = 3</tex> Рассмотрим <tex> a n </tex> операций <tex> \mathrm{union} </tex> и <tex> b m </tex> операций <tex> \mathrm{get} ( b </tex>. Можем считать, что число операций <tex> \mathrm{union} </tex> равно числу элементов множества, так как количество операций <tex>\mathrm{union}</tex> не превосходит количество элементов множества <tex>n</tex>. Заметим, что <tex>m\geqslant n</tex>, так как при каждом вызове операции <tex>\mathrm{union}</tex> дважды вызывается операция <tex> a ) \mathrm{get}</tex>.Не теряя общности, будем считать, что <tex> \mathrm{union } </tex> принимает в качестве аргументов представителей,

<tex> \mathrm{R(P(v))} > \geqslant \mathrm{R(v)} </tex>

Из Если <tex>\mathrm{v}</tex> — представитель множества, то <tex>\mathrm{P(v)}=\mathrm{v}</tex> и <tex> \mathrm{R(P(v))} = \mathrm{R(v)} </tex>. Иначе, из принципа работы функции <tex> \mathrm{getunion} </tex> следует:

#Между <tex> \mathrm{v } </tex> и <tex> \mathrm{P(v)} </tex> существует путь вида: <tex> \mathrm{v } \rightarrow \mathrm{L(v)} \rightarrow \mathrm{L(L(v))} \rightarrow \dots \rightarrow \mathrm{P(v)} </tex>.

#{{Утверждение|statement=<tex> \mathrm{R(v)} \leqslant \log_2a log_2n </tex>.#}}{{Утверждение|statement=Количество вершин ранга <tex> i \leqslant \dfrac{an} {2^i} </tex>.|proof=Если бы это было не так, то просуммировав количество вершин всех рангов, мы получили бы число большее <tex>n</tex>. Это противоречит условию, по которому <tex>n</tex> — число всех вершин. Значит утверждение верно.}}

Рассмотрим все вызовы функции <tex>\mathrm{get(u)}</tex>. В процессе выполнения каждой операции двигаемся вверх по одному из деревьев, заканчивая поиск в его корне. Если вершина <tex>u</tex> не корень и не сын корня, то во время рекурсивных вызовов функции <tex>\mathrm{R(Pget(u))}</tex> возрастает после каждого вызова функции текущее значение <tex>get\mathrm{R(L(u))}</tex>возрастает.Пусть <tex>m</tex> — количество вызовов операции <tex>\mathrm{get(u)}</tex>, <tex>n</tex> — количество вызовов операции <tex>\mathrm{union(v, u)}</tex>, и <tex>m\geqslant n</tex>.

:1. <tex>u</tex> — корень. Таких вызовов <tex>\mathrm{get(u)}</tex> будет ровно <tex>m</tex>;.:2. <tex>u</tex> — сын корня. Таких вызовов <tex>\mathrm{get(u)}</tex> будет не больше чем <tex>m</tex>;.

3. Быстро растущие вызовы — такие что <tex>\mathrm{R(P(u))} \geqslant i^{\mathrm{R(u)}}</tex>, где <tex>i</tex> — число из диапазона <tex dpi="150">e ^{\frac{1}{e}} < i < 2</tex>; 4. Медленно растущие вызовы — <tex>\mathrm{R(P(u))} < i^{\mathrm{R(u)}}</tex>. Для первых двух типов вершин одна операция <tex>\mathrm{get(u)}</tex> работает за истинное время <tex>\mathrm{O(1)}</tex>, поэтому их суммарное время работы не превышает <tex>2\cdot m</tex>.

Количество итераций При каждом вложенном вызове функции <tex>\mathrm{get(u)}</tex> для быстро растущих вершин третьего типа ранг по условию возрастает до <tex>i^{\mathrm{R(u)}}</tex>. Ранг вершины может меняться в пределах от <tex>0</tex> до <tex>\log_2n</tex>. Значит количество рекурсивных вызовов не превосходит равняется количеству возведений в степень <tex>\log_2 mathrm{R(n)}</tex> числа <tex>i</tex>, так как при каждом вызове ранг вершины увеличивается, но он не может быть больше необходимых для достижения числа <tex>\log_2n</tex>. Таким образомИли что то же самое, время на один быстро растущий вызов функции количеству логарифмирований по основанию <tex>i</tex> числа <tex>\log_2n</tex> для получения <tex>1</tex> и еще одному логарифмированию для получения <tex>get(u)0</tex> меньше или равно . Количество логарифмирований описывается функцией <tex dpi="150130">\log^*_{i} \left (\log log_2 n \right )</tex>. Суммарное С учетом последнего логарифмирования формула примет вид <tex dpi="130">\log^*_{i}n</tex>.Тогда время работы <tex>m</tex> быстро растущих вызовов равняется равно <tex>\mathrm{O(m\cdot \log^* n)}</tex>.

В итоге получаем, что суммарное время работы операции <tex>\mathrm{get(u)}</tex> равняется <tex>T = \mathrm{O(m)} + \mathrm{O(m\cdot \log^* n)} +\mathrm{O(n)} = \mathrm{O(m\cdot \log^*n + n)}</tex>.