Редактирование: Самостабилизирующиеся алгоритмы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Категория: Параллельное программирование]]
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 9: Строка 8:
 
Тогда от ''любого'' сбоя мы через конечное число шагов будем восстанавливаться без консенсусов и прочих развлечений.
 
Тогда от ''любого'' сбоя мы через конечное число шагов будем восстанавливаться без консенсусов и прочих развлечений.
 
== Взаимное исключение ==
 
== Взаимное исключение ==
Dijkstra Stabilizing Token Ring Algorithm.
 
 
Сначала надо переформулировать задачу: мы говорим, что каждый процесс в системе может либо '''иметь привилегию''', либо не иметь.
 
В произвольном состоянии системы привилегия может быть у произвольного количества процессов, но через конечное число шагов она остаётся только у одного процесса и мы входим в легальное состояние.
 
Дальше остаёмся только в легальных состояниях.
 
 
TODO: а какие сообщения процессы посылают друг другу? Могут ли быть ошибки (наверное, нет)? Может ли система быть асинхронной (наверное, тоже нет)?
 
 
Все $N$ процессов будут замкнуты в кольцо, в котором один процесс назван "первым".
 
У каждого процесса есть состояние — число от 0 до $K-1$, причём $K \ge N$ — параметр алгоритма.
 
 
По определению положим, что у процесса есть привилегия, если:
 
* Он первый и его значение $S$ совпадает со значением $L$ следующего по часовой стрелке процесса.
 
* Он не первый и его $S$ не совпадает с $L$.
 
 
Например, на рисунке ниже толстая граница у выделенного процесса, а жёлтым обозначена привилегия:
 
 
[[Файл:distributed-self-stabilization-legal.png|400px]]
 
 
Правила перехода в новое состояние:
 
* Для первого процесса: если была привилегия ($S=L$), то переходим в состояние $(S + 1) \bmod K$
 
* Для не-первого процесса: если привилегия есть ($S \neq L$), то переходим в состояние $L$
 
Пример двух переходов:
 
 
[[Файл:Distributed-self-stabilization-step-1.png|400px]]
 
 
[[Файл:Distributed-self-stabilization-step-2.png|400px]]
 
 
Таким образом, в легальном состоянии привилегия у нас ходит по кругу, как в алгоритме с токеном.
 
Но там потеря токена была смертельной для алгоритма, а у нас — не смертельна.
 
 
=== Доказательство стабилизируемости ===
 
'''Лемма''': в любом состоянии хотя бы у одного процесса есть привилегия.
 
В противном случае у нас, с одной стороны, все значения машин равны друг другу (потому что для каждой машины, кроме первой, её значение совпадает со следующей по кругу), а с другой стороны значение первой машины и её соседа должны отличаться, противоречие.
 
 
'''Лемма''': что бы не происходило в системе, через $O(N^2)$ шагов в системе первый процесс сделает ход.
 
'''Доказательство (с лекции)''': если первый процесс не делает ход, то следующий за ним против часовой стрелки процесс 2 сможет сделать максимум один ход: взять себе значение первого процесса.
 
Процесс 3 после каждого хода процесса 2 может сделать максимум один ход: взять себе значение процесса 2.
 
То есть процесс 3 может сделать не больше двух ходов (один исходно, один после хода процесса 2).
 
Аналогично, процесс 4 может сделать не больше трёх ходов, и так далее.
 
Итого мы получаем, что если первый процесс не делает шаги, то через $O(N^2)$ шагов привилегия полностью исчезнет, чего не бывает.
 
 
'''Альтернативное доказательство (проверено рандомом)''': если первый процесс может сделать ход сразу, то всё доказали.
 
Иначе у него нет привилегии.
 
Заметим, что если следующий за ним по часовой стрелке процесс 2 либо имеет значение, равное ему, либо отличающееся (тогда он имеет привилегию и сразу делает ход).
 
Таким образом, через один ход процессы 1 и 2 имеют одинаковые значения.
 
Аналогично, через два хода процессы 1, 2 и 3 имеют одинаковые значения.
 
А через $N-1$ шаг все процессы гарантированно имеют одинаковые значения (если первый процесс так и не походил).
 
Таким образом, через $N-1$ шаг у первого процесса появляется привилегия и он ходит, $N=O(N^2)$.
 
 
'''Лемма''': рано или поздно у первого процесса будет уникальное $S$.
 
'''Доказательство''': все остальные процессы умеют только копировать состояния друг у друга, а первый процесс ходит бесконечно.
 
Поэтому рано или поздно он перейдёт на состояние, которое не совпадает ни с одним из оставшихся $N-1$ состоянием.
 
 
'''Лемма''': через $O(N^2)$ после этого система стабилизируется.
 
'''Альтернативное доказательство (не с лекции)''': это состояние будет сразу же скопировано на второй процесс, потом сразу же скопировано на третий, и так далее, после чего мы прийдём в состояние, где все значения равны, а оно легальное.
 
  
 
== Поиск остовного дерева ==
 
== Поиск остовного дерева ==
Такая задача возникает, например, в internet of things: набросали с вертолёта на поле размером 3км*3км много хрупких устройств со слабыми антеннами, которым надо соединиться в единую сеть. При этом топология связи там неполная и половина устройств подохла.
 
А мы хотим построить дерево, чтобы узлы могли друг с другом общаться (а не каждый каждому передавать, потому что тогда надо бороться с циклами).
 
 
Решение начинается с инициатора (например, узел, которому надо что-нибудь узнать про всех остальных), которому это дерево нужно.
 
 
Каждый узел поддерживает у себя $d$ (расстояние до корня) и $p$ (узел-предок в дереве).
 
Корень всегда ставит у себя $d=0$ и $p=-1$, а остальные узлы в постоянном режиме делают:
 
* Найти соседа $j$ с минимальным $d_j$
 
* Установить его в качестве своего родителя и $d_i=d_j+1$
 
 
Тогда корень стабилизируется сразу, узлы, которым корень виден, стабилизируются через одну итерацию, их соседи — через две, и так далее.
 
 
Если какой-нибудь узел выпадает, то его дети найдут себе кого-нибудь ещё и снова встроятся в дерево.
 
 
Единственная проблема — если умирает корень, но тогда узнавший об этом узел может инициировать перестроение дерева (если у нас цель — связь).
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: