Изменения

{{Шаблон:Задача|definition == Постановка задачи LCA ==Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.}}

|id=lca_suf_tree|definition = '''Наименьшим общим предком ''' (англ. ''least common ancestor)''' ) двух узлов <tex>u, </tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w,</tex> , который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> , так и <tex>v,</tex> , имеет наибольшую глубину.

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве Для каждой вершины <tex>T.</tex>определим глубину с помощью следующей рекурсивной формулы::<tex>\mathrm{depth}(u)= \begin{cases}0 & u = \mathrm{root}(T),\\\mathrm{depth}(v) + 1 & u = \mathrm{son}(v).

2) Запустим обход Вот таким образом будет выглядеть массив <tex>\mathtt{vtx}</tex> после обхода в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.:

3) Построим дерево отрезков с операцией взятия минимума на отрезке по полученному списку узлов[[Файл:Полная персистентность.png‎ | мини | left | 500x300px| Пример массива <tex>\mathtt{vtx}</tex>]]<br clear="all">

Пусть имеется Будем считать, что <tex>\mathrm{rmq}(d,l,r)</tex> возвращает индекс минимального элемента в <tex>d</tex> на отрезке <tex>[l..r]</tex>. Тогда ответом на запрос пара узлов <tex>\mathrm{lca}(u, v.)</tex> Обозначим , где <tex>\mathtt{I}[u] \leqslant \mathtt{I}[v]</tex> - индекс ячейки в списке глубин, в которой хранится глубина узла будет <tex>\mathtt{vtx}[\mathrm{rmq}(d,\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v])]</tex>.=== Доказательство корректности алгоритма ==={{Теорема|statement=Наименьшему общему предку вершин <tex>u, v</tex> Тогда запрос минимального элемента соответствует минимальная глубина на отрезке <tex>d[\mathtt{I}[u], \mathtt{I}[v]]</tex> будет равен глубине .|proof=Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Рассмотрим отрезок <tex>d[\mathtt{I}[u]..\mathtt{I}[v]]</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из <tex>u</tex> в <tex>v</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка узлов <tex>w</tex> (в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>w</tex>. Заметим, что в момент добавления <tex>\mathtt{I}[u]</tex> обход посещал поддерево с корнем <tex>w</tex>. В момент добавления <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы все еще в поддереве с корнем <tex>w</tex>. Значит, и на отрезке между <tex>\mathtt{I}[u]</tex> и <tex>\mathtt{I}[v]</tex> мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>.Отсюда сделаем заключение, что на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>w</tex>, с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex>, т. к. подобной вершины нет в поддереве с корнем <tex>w</tex>.}}.

== Доказательство корректности алгоритма Пример ==Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>дерево на рисунке 1. Пусть узел <tex>w</tex> - наименьший общий предок узлов <tex>uНайдем наименьшего общего предка вершин, vпомеченных красным цветом.</tex> ОчевидноСписок глубин, что получающийся в результате обхода в поддереве с корнем <tex>w</tex> узел <tex>w</tex> будет иметь наименьшую глубину.Осталось доказать, что всегда выполняется неравенство {{---}} <tex>I[u] \le I[w] \le I[v0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0]\;(*).</tex>Пусть вершина Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>u</tex> посещается раньше[2, чем вершина <tex>v.</tex> Тогда1, если вершина <tex>v</tex> не явлется потомком вершины <tex>u0,1].</tex> будет выполняться неравенство <tex>\;(*)</tex> [[Файл:Lca to rmq.png(так как после посещения поддерева, содержащего вершину <tex>u</tex>, в список будет добавлена вершина <tex>w</tex>, а после - вершина <tex>v</tex>2). А если вершина png|thumb|center|400x200px|Рисунок к примеру]]<tex>u</tex> является предком вершины <texdiv style='clear:left;'>v,</tex> то вершина <texdiv>u</tex> будет наименьшим общим предком вершин <tex>u, v</tex>. Очевидно, что неравенство выполняется.

=== Запрос ===Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]] для <tex>\pm 1RMQ</tex>, т. к. соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет <tex>(2n - 1)</tex>, таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n)</tex>. Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. {{---}} <tex>O(\log n1).</tex>.

== Ссылки Источники информации ==