Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Добавил определение сложного языка)
Строка 26: Строка 26:
 
Проверим, что <tex>g(f(x))</tex> вычислима за полиномиальное время от <tex>|x|</tex>. В самом деле, сначала нужно вычислить <tex>f(x)</tex>, на это необходимо не более, чем <tex>p_1(|x|)</tex> времени (<tex>p_1</tex> — полином). Более того, длина входа <tex>g</tex> в <tex>g(f(x))</tex> не превышает того же <tex>p_1(|x|)</tex>, так как за единицу времени может быть выведен максимум один символ. Значит, вычисление <tex>g</tex> на <tex>f(x)</tex> займёт времени не более, чем <tex>p_2(|f(x)|)</tex> (<tex>p_2</tex> — тоже полином), что, по выше сказанному, не превосходит <tex>p_2(p_1(|x|))</tex>.
 
Проверим, что <tex>g(f(x))</tex> вычислима за полиномиальное время от <tex>|x|</tex>. В самом деле, сначала нужно вычислить <tex>f(x)</tex>, на это необходимо не более, чем <tex>p_1(|x|)</tex> времени (<tex>p_1</tex> — полином). Более того, длина входа <tex>g</tex> в <tex>g(f(x))</tex> не превышает того же <tex>p_1(|x|)</tex>, так как за единицу времени может быть выведен максимум один символ. Значит, вычисление <tex>g</tex> на <tex>f(x)</tex> займёт времени не более, чем <tex>p_2(|f(x)|)</tex> (<tex>p_2</tex> — тоже полином), что, по выше сказанному, не превосходит <tex>p_2(p_1(|x|))</tex>.
 
В итоге получаем, что итоговое время работы <tex>g(f(x))</tex> не более, чем <tex>p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)</tex>, что является полиномом от <tex>|x|</tex>.
 
В итоге получаем, что итоговое время работы <tex>g(f(x))</tex> не более, чем <tex>p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)</tex>, что является полиномом от <tex>|x|</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
<tex>C</tex> — сложностный класс, <tex>\widetilde{D}</tex> — сведение. Язык <tex>L</tex> называется '''<tex>C</tex>-трудным относительно сведения <tex>\widetilde{D}</tex> (<tex>C</tex>-hard)''', если любой язык <tex>M</tex> из <tex>C</tex> сводится по <tex>\widetilde{D}</tex> к <tex>L</tex>:<br>
 +
<tex> (L </tex> — <tex>C</tex>-hard <tex>) \Leftrightarrow ( \forall M \in C \Rightarrow M \leq_{f} L, f \in \widetilde{D} ) </tex>.
 
}}
 
}}

Версия 22:32, 15 апреля 2012

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Язык [math]L_1[/math] сводится по Карпу к языку [math]L_2[/math] ([math]L_1 \leq L_2[/math]), если существует такая функция [math]f(x)[/math], вычислимая за полиномиальное от длины входа время, что [math]x[/math] принадлежит [math]L_1[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x)[/math] принадлежит [math]L_2[/math]:
[math] (L_1 \leq L_2) \Leftrightarrow ( \exists f \in P : x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 ) [/math].


Банальный пример сведения по Карпу

Зададим следующие языки:

  • [math]IND[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — число, таких, что в [math]G[/math] есть независимое множество размера [math]k[/math].
  • [math]CLIQUE[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — опять же, число, таких, что в [math]G[/math] есть клика размера [math]k[/math].

Докажем, что [math]IND \leq CLIQUE[/math].
Рассмотрим функцию [math]f( \langle G, k \rangle ) = \langle \overline{G}, k \rangle[/math], где [math]\overline{G}[/math]дополнение графа [math]G[/math]. [math]f[/math] вычислима за линейное время от длины входа, если граф представлен в видел матрицы смежности.

  • ([math]x \in L_1 \Rightarrow f(x) \in L_2[/math]) Заметим, что если в [math]G[/math] было независимое множество размера [math]k[/math], то в [math]\overline{G}[/math] будет клика такого же размера (вершины, которые были в независимом множестве, в [math]\overline{G}[/math] попарно соединены рёбрами и образуют клику).
  • ([math]x \in L_1 \Leftarrow f(x) \in L_2[/math]) Обратно, если в [math]\overline{G}[/math] есть клика размера [math]k[/math], то в исходном графе было независимое множество размера [math]k[/math].

Таким образом, [math]IND \leq CLIQUE[/math] по определению.

Замечание. Многие другие примеры сведения по Карпу могут быть найдены в статье про примеры NP-полных языков.

Теорема (о транзитивности):
Сведение по Карпу транзитивно, то есть: [math] ( L_1 \leq L_2, L_2 \leq L_3 ) \Rightarrow L_1 \leq L_3 [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] — функции из определения сведения для [math] L_1 \leq L_2 [/math] и [math] L_2 \leq L_3 [/math] соответственно. Из определения следует: [math]x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 \Leftrightarrow g(f(x)) \in L_3[/math].
Проверим, что [math]g(f(x))[/math] вычислима за полиномиальное время от [math]|x|[/math]. В самом деле, сначала нужно вычислить [math]f(x)[/math], на это необходимо не более, чем [math]p_1(|x|)[/math] времени ([math]p_1[/math] — полином). Более того, длина входа [math]g[/math] в [math]g(f(x))[/math] не превышает того же [math]p_1(|x|)[/math], так как за единицу времени может быть выведен максимум один символ. Значит, вычисление [math]g[/math] на [math]f(x)[/math] займёт времени не более, чем [math]p_2(|f(x)|)[/math] ([math]p_2[/math] — тоже полином), что, по выше сказанному, не превосходит [math]p_2(p_1(|x|))[/math].

В итоге получаем, что итоговое время работы [math]g(f(x))[/math] не более, чем [math]p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)[/math], что является полиномом от [math]|x|[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
[math]C[/math] — сложностный класс, [math]\widetilde{D}[/math] — сведение. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-трудным относительно сведения [math]\widetilde{D}[/math] ([math]C[/math]-hard), если любой язык [math]M[/math] из [math]C[/math] сводится по [math]\widetilde{D}[/math] к [math]L[/math]:
[math] (L [/math][math]C[/math]-hard [math]) \Leftrightarrow ( \forall M \in C \Rightarrow M \leq_{f} L, f \in \widetilde{D} ) [/math].