Изменения
→Пример
==Определение==
Язык <mathtex>A\,\!</mathtex> сводится по Карпу к языку <mathtex>B\,\!</mathtex>, если существует функция <mathtex>f(x)\,\!</mathtex> такая, что <mathtex>x \in A</mathtex> тогда и только тогда, когда <mathtex>f(x) \in bB</mathtex>.
Обычно требуют, чтобы сводящая функция была вычислима за полиномиальное время от длины входа.
Заметим, что в таком случае класс языков <tex>P</tex> замкнут относительно сведения по Карпу. Если язык <tex>L</tex> не равен пустому языку и не равен <tex>\Sigma ^*</tex>, то существуют слова <tex>x_1 \in L</tex> и <tex>x_2 \not\in L</tex>. Сводящая функция <tex>f(x)</tex> может решить сводимую задачу <tex>M</tex> за полиномиальное время от длины входа и выдать <tex>x_1</tex>, если <tex>x \in M</tex>, или <tex>x_2</tex>, если <tex>x \not\in M</tex>
==Пример==
Рассмотрим следующие языки:
<tex>IND</tex> и <tex>CLIQUE</tex> — множества пар <tex>\langle G, k \rangle </tex>, где <tex>G</tex> — граф, <tex>k</tex> — натуральное число. Пара <tex>\langle G, k \rangle </tex> принадлежит <tex>IND</tex>, если в графе <tex>G</tex> есть подграф с <tex>k</tex> вершинами, в котором все эти вершины не связаны ребрами. Пара <tex>\langle G, k \rangle </tex> принадлежит <tex>CLIQUE</tex>, если в графе <tex>G</tex> есть подграф с <tex>k</tex> вершинами, в котором между каждой парой вершин проходит ребро.
Существует функция <tex>f</tex> такая, что <tex>f(\langle G, k \rangle ) = \langle H, k \rangle </tex>, где <tex>H</tex> — граф, в котором столько же вершин, сколько и в <tex>G</tex>, а ребра расставлены следующим образом: если в графе <tex>G</tex> между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> есть ребро, то в графе <tex>H</tex> это ребро не проводится, если же в графе <tex>G</tex> между этими вершинами его не было, то в <tex>H</tex> оно есть между соответствующими вершинами. Эта функция вычисляется за линейное время от длины входа, если представлять граф в виде матрицы смежности.
Заметим, что если в графе <tex>G</tex> был независимый подграф с <tex>k</tex> вершинами, то в <tex>H</tex> между всеми вершинами подграфа будут ребра, следовательно, в графе <tex>H</tex> будет клика с <tex>k</tex> вершинами.
С другой стороны, если в <tex>H</tex> есть клика с <tex>k</tex> вершинами, значит между всеми вершинами клики проведены ребра, а значит их не было в графе <tex>G</tex>. Т.о. Таким образом, в графе <tex>G</tex> был независимый подграф с <tex>k</tex> вершинами.
Из всего сказанного следует, что <tex>IND \le CLIQUE</tex>.
==Теоремао транзитивности==Операция сведения по Карпу транзитивна. Т.е. То есть, если <tex>A \le B</tex>, <tex>B \le C</tex>, то <tex>A \le C</tex>. ==Доказательство транзитивности==Пусть <tex>A \le B</tex>. Тогда существует функция <tex>f</tex>: <tex>x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B</tex>. Пусть в свою очередь <tex>B \le C</tex> и есть функция <tex>g</tex>: <tex>y \in B \Leftrightarrow g(y) \in C</tex>. Рассмотрим функция <tex>h(x) = g(f(x))</tex>. <tex>x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B</tex>. Также <tex>f(x) \in B \Leftrightarrow g(f(x)) \in C</tex>. То есть <tex>x \in A \Leftrightarrow h(x) = g(f(x)) \in C </tex>. Проверим, что функция <tex>h(x)</tex> вычислима за полиномиальное время от длины входа. Для вычисления значения функции <tex>h(x)</tex> сначала нужно вычислить <tex>f(x)</tex>. Время вычисления <tex>f(x)</tex> ограничено сверху некоторым полиномом <tex>p_1(|x|)</tex>, так как эта функция применяется в сведении по Карпу. Затем нужно вычислить <tex>g(f(x))</tex>. Пусть <tex>t = f(x)</tex>. Так как за единицу времени может быть написан лишь один символ, то <tex>|t| < p_1(|x|)</tex>. Время вычисления <tex>g(t)</tex> ограничено сверху некоторым полиномом <tex>p_2(|t|)</tex>. Таким образом, время вычисления <tex>h(x)</tex> не больше <tex>p_2(p_1(|x|)) + p_1(|x|)</tex>.
