|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex> A = \varnothing </tex>
p(A)
'''return''' ''false''
Псевдокод для <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
p(A)
'''return''' ''true''
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями:
:<tex>L(p) \in A</tex>
:<tex>p \in L(A)</tex>
Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L(A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.|proof=Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, не является разрешимым.}}===Доказательство===Пусть <tex>p_Ap_\infty</tex> {{---}} программавсегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, разрешающая когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.'''
Не умаляя общности, можно считатьПриведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>\varnothing \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным)разрешимо.
Поскольку Рассмотрим язык <tex>AS</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык такой что <tex>X S \in \overline{A}</tex>. Пусть (такой язык существует, так как <tex>p_XA</tex> {{---}} полуразрешитель нетривиально). Тогда <tex>Xp_S \in L(\overline{A})</tex>.
Рассмотрим вспомогательную программу: также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>g_{i,x}(y):X</tex> '''if''' U(i, x) == 1 '''return''' . Пусть <tex>p_X(yn)</tex> '''else''' '''while''' ''true''{{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным Зафиксируем произвольное <tex>in \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(x</tex>. Значит), можно рассмотреть такую программу: n \in X \\ <tex>US p_\infty(x), n \notin X \langle i, x \rangle )</tex> '''return''' <tex>p_A ( g_\end{i,xcases} ) </tex>
Заметим, что<code> '''function''' <tex>LV_n</tex>(g_{i,x}) = \begin{cases}: X, & U '''if''' <tex>p_X</tex>(i, xn) == 1; \\ \varnothing, & U '''return''' <tex>p_S</tex>(i, x) \neq 1; \\\end{cases} '''while''' ''true''</texcode>
СледовательноПолучили, что если <tex>n \in X<br/tex> , то <tex> USV_n \in L(\langle ioverline A)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, x то <tex>V_n \rangle in L(A) = p_A</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(g_\overline A)</tex>. Так как <tex>\overline A</tex> {i{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>,xлежит ли оно в <tex>L(\overline{A}) = </tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие. '''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(\beginoverline{casesA})</tex>.''' p_AТак как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (p_Xкак дополнение к нетривиальному множеству), & U(iто по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, x) <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии=== 1; По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \\ p_Amathrm{getSrc(p_\varnothing )} </tex>, & U(i, x) \neq 1; \\которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. \end<tex> A </tex> {{cases---}} = \beginразрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: <code> 1<tex>propA(code){:}</tex> // программа, & Uразрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство 0, & U<tex>g(i, x) \neq 1; \\\end{cases:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} программанетривиальное свойство <tex>p(x){:}</tex> '''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex></code> Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие. Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, разрешающая а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие. == См. также ==* [[Множества | универсальное множествоТеорема о рекурсии]]. Получили противоречие.}}* [[Теорема Райса-Шапиро]]
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений{{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
