|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex>A = \mathrm {RE} </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return <tex>L(p_X) \in \mathrm{RE}</tex>
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
Пример.Пусть '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p_Xp</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.''' Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо. ПредположимРассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex>S \in \overline{A}</tex> разрешимо и нетривиально(такой язык существует, так как <tex>p_AA</tex> {{---}} программа, разрешающая нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Не умаляя общности, можно считать, что Зафиксируем произвольное <tex>n \varnothing in \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm mathbb{REN} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как построим следующую функцию <tex> V_n(x) = \mathrm begin{REcases} p_S(x), n \setminus A in X \neq \varnothing </tex> и <tex> p_\infty(x), n \mathrm {RE} notin X \setminus A \neq \mathrm end{REcases} ) </tex>.
Поскольку <code> '''function''' <tex>AV_n</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык (x): '''if''' <tex>X \in Ap_X</tex>. Пусть (n) == 1 '''return''' <tex>p_Xp_S</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X(x) '''while''' ''true''</texcode>.
Рассмотрим вспомогательную программу:Получили, что если <tex> U(i, x) n \in X</tex> {{---}} универсальная функция , то <tex>g_{i,x}V_n \in L(y\overline A):</tex> '''if''' <tex>U(i, x)</tex> == 1 <font color=green> // а если i (где i - это программа), на входе x выдает 1. </font> '''return''' <tex>p_X(y)</tex> '''else''' '''while''' ''true''Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> n \notin X</tex> и пустое.Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным то <tex>i</tex> и <tex>xV_n \in L(A)</tex>. ЗначитТаким образом, можно рассмотреть такую программу: <tex>US(n \in X \langle i, x iff V_n \rangle )</tex> '''return''' <tex>p_A in L( g_{i,x} \overline A) </tex>.
ЗаметимТак как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, чтото можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(g_\overline{i,xA}) = </tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \begin{cases} in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, & U(iлежит ли оно в <tex>X</tex>, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\\end{cases}а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex>{{---}} неразрешимо, получили противоречие.
Следовательно'''Теперь рассмотрим случай, <br/> когда <tex> US(p_\langle i, x infty \rangle ) = p_Ain L(g_\overline{i,xA}) = </tex>.''' Так как <tex>\beginoverline{A}</tex> {cases{---}} p_Aнетривиально (p_Xкак дополнение к нетривиальному множеству), & U(iто по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, x) <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии=== 1; По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \\ p_Amathrm{getSrc(p_\varnothing )} </tex>, & U(i, x) \neq 1; \\которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. \end<tex> A </tex> {{cases---} = \begin} разрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: <code> 1<tex>propA(code){:}</tex> // программа, & Uразрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство 0, & U<tex>g(i, x) \neq 1; \\\end{cases:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} программанетривиальное свойство <tex>p(x){:}</tex> '''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex></code> Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
