|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex>A = \mathrm {RE} </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству.
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in A</tex>
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Пример'''.
Псевдокод для первого '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства из примера. Пусть <tex>p_XA</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.''' Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо. ПредположимРассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex>S \in \overline{A}</tex> разрешимо и нетривиально(такой язык существует, так как <tex>p_AA</tex> {{---}} программа, разрешающая нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Не умаляя общности, можно считать, что Зафиксируем произвольное <tex>n \varnothing in \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm mathbb{REN} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как построим следующую функцию <tex> V_n(x) = \mathrm begin{REcases} p_S(x), n \setminus A in X \neq \varnothing </tex> и <tex> p_\infty(x), n \mathrm {RE} notin X \setminus A \neq \mathrm end{REcases} ) </tex>.
Поскольку <code> '''function''' <tex>AV_n</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык (x): '''if''' <tex>X \in Ap_X</tex>. Пусть (n) == 1 '''return''' <tex>p_Xp_S</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X(x) '''while''' ''true''</texcode>.
Рассмотрим вспомогательную программу:Получили, что если <tex> U(i, x) n \in X</tex> {{---}} универсальная функция, также зафиксируем некоторую программу то <tex>iV_n \in L(\overline A)</tex> и слово , а если <tex> x n \notin X</tex>. <tex>g_{i,x}(y):то </tex> '''if''' <tex>UV_n \in L(i, xA)</tex> == 1 <font color=green> // если i. Таким образом, на входе x выдает 1. </font> '''return''' <tex>p_Xn \in X \iff V_n \in L(y\overline A)</tex> '''else''' '''while''' ''true''.
Нетрудно понятьТак как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, что то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным <tex>iL(\overline{A})</tex> . Но это тоже самое, что и проверка <tex>xn \in X</tex>. ЗначитТогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, можно рассмотреть такую программу: лежит ли оно в <tex>X</tex>US(\langle i, x \rangle )а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex> '''return''' . Так как <tex>p_A ( g_{i,x} ) X</tex>{{---}} неразрешимо, получили противоречие.
Заметим'''Теперь рассмотрим случай, чтокогда <tex>p_\infty \in L(g_\overline{i,xA}) = </tex>.''' Так как <tex>\beginoverline{A}</tex> {{cases---} X} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), & U(iто по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, x) <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии=== 1; \\ По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \varnothing, & Umathrm{getSrc(i)} </tex>, x) \neq 1; \\которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. \end<tex> A </tex> {{cases---}} разрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex>{{---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>.Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать Теперь допустим, что язык <tex> XL_A </tex> и пустоеразрешим.Тогда напишем такую программу: <code>Следовательно <tex>propA(code){:}</tex> // программа, разрешающее свойство языка <tex> A <br/tex> <tex> USf(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>,x}) = что <tex>f \beginin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{cases---}} нетривиальное свойство p_A<tex>g(p_Xx){:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, & U(i, x) = 1что <tex>g \notin A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство p_A(p_\varnothing ), & U<tex>p(i, x) \neq 1; \\\end{cases:} = </tex> '''if''' <tex>propA(\beginmathrm{casesgetSrc()})</tex> 1, & U '''return''' <tex>g(i, x) = 1; \\</tex> '''else''' 0, & U '''return''' <tex>f(i, x) \neq 1; \\</tex></code>\end{cases}Если <tex> p </tex> {{---}} программане удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
