|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка.</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in A</tex>
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Пример'''.
Псевдокод для первого '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства из примера <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: :<tex>p_AL(p_Xp)\in A</tex> '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Приведём доказательство от противного. Предположим, что Пусть <tex>Ap_\infty</tex> разрешимо и нетривиально{{---}} всегда зацикливающийся алгоритм. '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_Ap_\infty \in L(A)</tex> {{---}} программа.''' Приведём доказательство от противного. Предположим, разрешающая что <tex>A</tex>разрешимо.
Не умаляя общности, можно считать, что Рассмотрим язык <tex>\varnothing \notin AS</tex> (в противном случае перейдём к , такой что <tex> S \in \mathrm overline{REA} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным(такой язык существует, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \varnothing </tex> {{---}} нетривиально). Тогда и <tex> p_S \in L(\mathrm overline{RE} \setminus A \neq \mathrm {RE} ) </tex>.
Поскольку <tex>A</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Рассмотрим вспомогательную программу: Зафиксируем произвольное <tex> Un \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию <tex>V_n(x) = \begin{cases} p_S(ix), n \in X \\ p_\infty(x), n \notin X \\\end{cases} </tex> {{---}} [[Универсальная функция | универсальная функция]]
Тогда для произвольных <texcode>i '''function''' </tex> и <tex> x V_n</tex> можем написать такую программу. <tex>g_{i,(x}(y):</tex> '''if''' <tex>U(i, x)p_X</tex> (n) == 1 '''return''' <tex>p_X(y)p_S</tex>(x) '''else''' '''while''' ''true''</code>
Нетрудно понятьПолучили, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным если <tex>in \in X</tex> и , то <tex>xV_n \in L(\overline A)</tex>. Значит, можно рассмотреть такую программу: а если <tex>US(n \langle inotin X</tex>, x то <tex>V_n \rangle in L(A)</tex> '''return''' . Таким образом, <tex>p_A n \in X \iff V_n \in L( g_{i,x} \overline A) </tex>.
ЗаметимТак как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, чтото можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(g_\overline{i,xA}) = </tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \begin{cases} in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, & U(iлежит ли оно в <tex>X</tex>, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\\end{cases}а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex>{{---}} неразрешимо, получили противоречие.
Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать '''Теперь рассмотрим случай, когда <tex> Xp_\infty \in L(\overline{A})</tex> и пустое.''' Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <br/tex> A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===US(\langle iПо [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, x в неё можно написать функцию <tex> \rangle mathrm{getSrc() = p_A(g_} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. <tex> A </tex> {{i,x---}}) = \beginразрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: <code> p_A<tex>propA(p_Xcode){:}</tex> // программа, & Uразрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство p_A<tex>g(p_\varnothing x){:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, & Uчто <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство <tex>p(i, x) \neq 1; \\\end{cases:} = </tex> '''if''' <tex>propA(\beginmathrm{casesgetSrc()})</tex> 1, & U '''return''' <tex>g(i, x) = 1; \\</tex> '''else''' 0, & U '''return''' <tex>f(i, x) \neq 1; \\</tex></code>\end{cases}Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex> {{---}} программа, разрешающая [[Универсальная функция | универсальное множество]]тогда будет выполняться всегда вторая ветка, и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
