Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Теорема Успенского-Райса: Fix html code issues
|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Пример'''.
 
Свойство языка, язык содержит слова ''hello''.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex> A = \varnothing </tex>
p(A)
'''return''' ''false''
 
Псевдокод для <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
p(A)
'''return''' ''true''
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
Пример.Пусть '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p_Xp</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>. 
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
=== Примеры ===
'''Примеры свойств''':
# Язык должен содержать слово ''hello''.
# Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
 
Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font>
'''return''' ''true''
 
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>p_X \in L(A)</tex>
 
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
<tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} перечислимый язык в общем случае, поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font>
'''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.|proof}}===Доказательство===Пусть <tex>p_\infty</tex> {{---}} всегда зацикливающийся алгоритм.  '''Рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(A)</tex>.'''  Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо. ПредположимРассмотрим язык <tex>S</tex>, такой что <tex>S \in \overline{A}</tex> разрешимо и нетривиально(такой язык существует, так как <tex>p_AA</tex> {{---}} программа, разрешающая нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Не умаляя общности, можно считать, что Зафиксируем произвольное <tex>n \varnothing in \notin A</tex> (в противном случае перейдём к <tex> \mathrm mathbb{REN} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как построим следующую функцию <tex> V_n(x) = \mathrm begin{REcases} p_S(x), n \setminus A</tex> != <tex>\varnothing </tex> и <tex> in X \mathrm {RE} \setminus A</tex> != <tex> p_\mathrm {RE} infty(x) </tex>. Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> , n \notin X</tex> и пустое (при построении функции <tex>L(g_\\\end{i,xcases}</tex>).
Поскольку '''function''' <tex>AV_n</tex> непусто, то найдётся перечислимый язык <tex>X \in A</tex>. Пусть (x): '''if''' <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель (n) == 1 '''return''' <tex>Xp_S</tex>.(x) '''while''' ''true''
Рассмотрим вспомогательную программу:Получили, что если <tex> Un \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(i, x\overline A) </tex> {{---}} универсальная функция , а если <tex>g_{in \notin X</tex>,x}то <tex>V_n \in L(yA):</tex> '''if''' U(i. Таким образом, x) == 1 //если i на входе x выдает 1 '''return''' <tex>p_Xn \in X \iff V_n \in L(y\overline A)</tex> '''else''' '''while''' ''true''.
Нетрудно понятьТак как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, что то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным <tex>iL(\overline{A})</tex> . Но это тоже самое, что и проверка <tex>xn \in X</tex>. ЗначитТогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, можно рассмотреть такую программу: лежит ли оно в <tex>X</tex>US(\langle i, x \rangle )а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex> '''return''' . Так как <tex>p_A ( g_{i,x} ) X</tex>{{---}} неразрешимо, получили противоречие.
Заметим'''Теперь рассмотрим случай, чтокогда <tex>p_\infty \in L(g_{i,x}) = \beginoverline{casesA} X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\\end{cases}</tex>.'''
Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <br/tex> A</tex> также неразрешимо.US(\langle i===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, x в неё можно написать функцию <tex> \rangle mathrm{getSrc() = p_A(g_} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. <tex> A </tex> {{i,x---}}) = \beginразрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{cases---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу:  p_A<tex>propA(p_Xcode){:}</tex> // программа, & Uразрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(i, x) = 1{:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; \\существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство p_A<tex>g(p_\varnothing x){:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, & Uчто <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство <tex>p(i, x) \neq 1; \\\end{cases:} = </tex> '''if''' <tex>propA(\beginmathrm{casesgetSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> 1, & U '''else''' '''return''' <tex>f(i, x) = 1; \\</tex>  0Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, & Uи <tex> L(i, xp) = L(f) \neq 1; \\</tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.\end{cases}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex> {{---}} программа, разрешающая а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие. == См. также ==* [[Множества | универсальное множествоТеорема о рекурсии]]. Получили противоречие.}}* [[Теорема Райса-Шапиро]]
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
Анонимный участник

Навигация