|definition='''Свойством языков''' (англ. ''property of languages'') называется множество <tex> A \subset \mathrm {RE} </tex>.
}}
'''Примеры свойств''':
* Язык должен содержать слово ''hello''.
* Язык должен содержать хотя бы одно простое число.
{{Определение
|definition=Свойство называется '''тривиальным''' (англ. ''trivial''), если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = \mathrm {RE} </tex>.
}}
Псевдокод для <tex>A = \mathrm {RE} </tex>
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' ''true''
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству.
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in A</tex>
{{Определение
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Пример'''.
Псевдокод для первого '''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства из примера. Пусть <tex>p_XA</tex> {{---}} разрешитель некоторого языка можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: p(:<tex>p_XL(p) \in A</tex>) '''return''' :<tex>p_Xp \in L(A)</tex>Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L('hello'A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
}}
Например=== Примеры ==='''Примеры свойств''':# Язык должен содержать слово ''hello''.# Язык должен содержать хотя бы одно простое число. Псевдокод для разрешителя <tex>L(A)</tex>, где <tex>A = \mathrm {RE}: </tex> <tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель некоторого языка</font> '''return''' ''true'' Псевдокод для программы в общем случае, свойство делиться на 2 без остаткато есть для проверки того, тогда что язык удовлетворяет свойству : <tex> p_A(p_X)</tex> '''return''' <tex>p_X \in L(A) </tex> Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера: <tex>p_A(p_X)</tex> <font color="green"> // <tex>X</tex> {{---}} это перечислимый язык четных чиселв общем случае, а он разрешим.поэтому <tex>p_A</tex> {{---}} полуразрешитель (по [[Теорема Райса-Шапиро |теореме Райса-Шапиро]])</font> '''return''' <tex>p_X</tex>('hello')
== Теорема Успенского-Райса ==
{{Теорема
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.|proof=Приведём доказательство от противного. Предположим, что <tex>A</tex> разрешимо и нетривиально, не является разрешимым.}}===Доказательство===Пусть <tex>p_Ap_\infty</tex> {{---}} программа, разрешающая <tex>A</tex>всегда зацикливающийся алгоритм.
Не умаляя общности'''Рассмотрим случай, можно считать, что когда <tex>p_\varnothing infty \notin A</tex> in L(в противном случае перейдём к <tex> \mathrm {RE} \setminus A</tex>, которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \varnothing </tex> и <tex> \mathrm {RE} \setminus A \neq \mathrm {RE} ) </tex>. '''
Поскольку <tex>A</tex> непустоПриведём доказательство от противного. Предположим, то найдётся перечислимый язык что <tex>X \in A</tex>. Пусть <tex>p_X</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>разрешимо.
Рассмотрим вспомогательную программу:язык <tex> U(i, x) S</tex> {{---}} универсальная функция, также зафиксируем некоторую программу такой что <tex>i</tex> и слово<tex> x </tex>. <tex>g_S \in \overline{i,xA}(y):</tex> '''if''' <tex>U(iтакой язык существует, x)так как </tex> == 1 A<font color=green> // если i, на входе x выдает 1. </font> '''return''' <tex>p_X(y)</tex> '''else''' '''while''' ''true''Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать <tex> X</tex> и пустое (при построении <tex>L(g_{i, x{---}}нетривиально))</tex>.Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным <tex>i</tex> и <tex>x</tex>. Значит, можно рассмотреть такую программу:Тогда <tex>USp_S \in L(\langle i, x \rangle )</tex> '''return''' <tex>p_A ( g_overline{i,xA} ) </tex>.
Заметим, чтоРассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>LX</tex>. Пусть <tex>p_X(g_n)</tex> {i,x{---}) = \begin{cases} полуразрешитель <tex>X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\\end{cases}</tex>.
Следовательно, Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}<br/tex> и построим следующую функцию <tex> USV_n(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases} p_Ap_S(p_Xx), & U(i, x) = 1; n \in X \\ p_A(p_\varnothing ), & Uinfty(i, x) , n \neq 1; notin X \\\end{cases} = \begin{cases}</tex> 1, & U '''function''' <tex>V_n</tex>(i, x): '''if''' <tex>p_X</tex>(n) == 1; '''return''' <tex>p_S</tex>(x) '''while''' ''true'' Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\ 0overline A)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, & Uто <tex>V_n \in L(iA)</tex>. Таким образом, x<tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline A) </tex>. Так как <tex>\neq 1; overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\overline{A})</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие. '''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \endin L(\overline{casesA})</tex>.''' Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} программанетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, разрешающая <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Универсальная функция Теорема о рекурсии | универсальное множествотеореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. <tex> A </tex> {{---}} разрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>. Теперь допустим, что язык <tex> L_A </tex> разрешим. Тогда напишем такую программу: <tex>propA(code){:}</tex> // программа, разрешающее свойство языка <tex> A </tex> <tex>f(x){:}</tex> // такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство <tex>g(x){:}</tex> // такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство <tex>p(x){:}</tex> '''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex> '''return''' <tex>g(x)</tex> '''else''' '''return''' <tex>f(x)</tex> Если <tex> p </tex> не удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, тогда будет выполняться всегда вторая ветка, и <tex> L(p) = L(f) </tex>. Но язык программы <tex> f </tex> принадлежит <tex> A </tex>. Получили противоречие.}}Если <tex> p </tex> удовлетворяет свойству <tex> A </tex>, то <tex> L(p) = L(g) </tex>, а <tex> g \notin A </tex>. Опять получили противоречие.
== См. также ==
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Rice%27s_theorem Wikipedia — Rice's theorem]
* Rice, H. G. "{{---}} Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." {{---}} Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.* Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. {{---}}Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница {{---}} стр. 397.[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Теория формальных языковРазрешимые и перечислимые языки]]
