Изменения
→Теорема Успенского-Райса: Fix html code issues
|definition='''Язык свойства''' (англ. ''language of property'') <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace </tex>.
}}
'''Отметим''', что принадлежность программы <tex>p</tex> языку свойства <tex>A</tex> можно выразить двумя эквивалентными утверждениями:
:<tex>L(p) \in A</tex>
:<tex>p \in L(A)</tex>
Далее в конспекте будет употребляться <tex>p \in L(A)</tex>.
{{Определение
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''' (англ. ''recursive''), если <tex>L(A) </tex> является [[Разрешимые_(рекурсивные)_языки|разрешимым]].
Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :
<tex>p_A(p_X)</tex>
'''return''' <tex>L(p_X) \in L(A)</tex>
Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:
|statement=
Язык никакого нетривиального свойства <tex>A</tex> не является разрешимым.
Рассмотрим язык <tex>p_aS</tex> {{---}} программу, такую такой что <tex>a S \in \overline {A}</tex> (такое такой язык существует, так как <tex>aA</tex> существует, т.к. А {{---}} нетривиально). Тогда <tex>p_S \in L(\overline{A})</tex>. Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество <tex>X</tex>. Пусть <tex>p_X(n)</tex> {{---}} полуразрешитель <tex>X</tex>.
Зафиксируем произвольное <tex>n \in \mathbb{N}</tex> и построим следующую функцию
<tex>VnV_n(x) = \begin{cases} p_ap_S(x), n \in X; \\ p_\infty(x), n \notin X; \\
\end{cases} </tex>
'''function''' <tex>V_n</tex>(x):
'''if''' <tex>p_X</tex>(n) == 1
'''return''' <tex>p_ap_S</tex>(x)
'''while''' ''true''
Получили, что если <tex>n \in X</tex>, то <tex>V_n \in L(\overline SA)</tex>, а если <tex>n \notin X</tex>, то <tex>V_n \in L(SA)</tex>. Таким образом, <tex>n \in X \iff V_n \in L(\overline SA)</tex>. Так как <tex>\overline A</tex> {{---}} разрешимо, то можно проверить для любого <tex>V_n</tex>, лежит ли оно в <tex>L(\overline{A})</tex>. Но это тоже самое, что и проверка <tex>n \in X</tex>. Тогда можно для каждого <tex>n</tex> проверить, лежит ли оно в <tex>X</tex>, а следовательно и построить разрешитель для <tex>X</tex>. Так как <tex>X</tex> {{---}} неразрешимо, получили противоречие. '''Теперь рассмотрим случай, когда <tex>p_\infty \in L(\overline{A})</tex>.''' Так как <tex>\overline{A}</tex> {{---}} нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, <tex>A</tex> также неразрешимо.===Альтернативное доказательство с использованием теоремы о рекурсии===По [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию <tex> \mathrm{getSrc()} </tex>, которая вернёт строку {{---}} исходный код программы. <tex> A </tex> {{---}} разрешимое семейство языков. <tex> L_A </tex> {{---}} множество программ, удовлетворяющих св-ву <tex> A </tex>.
<tex>propA(code){:}</tex>
// программа, разрешающее свойство языка <tex> A </tex>
<tex>f(x){:}</tex>
// такая программа <tex> f </tex>, что <tex>f \in A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство
<tex>g(x){:}</tex>
// такая программа <tex> g </tex>, что <tex>g \notin A </tex>; существует потому что <tex> A </tex> {{---}} нетривиальное свойство
<tex>p(x){:}</tex>
'''if''' <tex>propA(\mathrm{getSrc()})</tex>
'''return''' <tex>g(x)</tex>
'''else'''
'''return''' <tex>f(x)</tex>
== См. также ==
