Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
== Определения ==
 +
 +
Рассмотрим множество перечислимых языков <tex> RE </tex>.
 +
{{Определение
 +
|definition='''Свойством языков''' называется множество <tex> A \subset RE </tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=Свойство называется '''тривиальным''', если <tex> A = \varnothing </tex> или <tex> A = RE </tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition='''Язык свойства''' <tex> A </tex> {{---}} множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p | L(p) \in A \rbrace </tex>.
 +
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Рассмотрим множество перечислимых языков <tex>RE</tex>.
+
|definition=Свойство <tex> A </tex> называется '''разрешимым''', если <tex>L(A) </tex> является разрешимым (перечислимо).
*Свойством языков называется множество <tex>A \subset RE</tex>.
 
*Свойство <tex>A</tex> называется тривиальным, если <tex>A = \varnothing </tex> или  <tex>A = RE</tex>.
 
*Языком свойства называется множество программ, языки которых обладают этим свойством: <tex>L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p | L(p) \in A \rbrace </tex>.
 
*Свойство <tex>A</tex> называется разрешимым (перечислимым), если <tex>L(A)</tex> разрешимо (перечислимо).
 
 
}}
 
}}
  
 +
== Теорема ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=

Версия 10:26, 2 января 2012

Определения

Рассмотрим множество перечислимых языков [math] RE [/math].

Определение:
Свойством языков называется множество [math] A \subset RE [/math].


Определение:
Свойство называется тривиальным, если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = RE [/math].


Определение:
Язык свойства [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p | L(p) \in A \rbrace [/math].


Определение:
Свойство [math] A [/math] называется разрешимым, если [math]L(A) [/math] является разрешимым (перечислимо).


Теорема

Теорема:
Никакое нетривиальное свойство языков не является разрешимым.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

От противного. Предположим, что [math]A[/math] разрешимо и нетривиально, [math]p_A[/math] - программа, разрешающая [math]A[/math].

Не умаляя общности, можно считать, что [math]\varnothing \notin A[/math] (в противном случае перейдем к [math]RE \setminus A[/math], которое также будет разрешимым и нетривиальным).

В то же время, поскольку [math]A[/math] непусто, найдется перечислимый язык [math]X \in A[/math]. Пусть [math]p_X[/math] - полуразрешитель [math]X[/math].

Рассмотрим вспомогательную программу:

[math]g_{i,x}(y)[/math]
 if U(i, x) = 1
    return [math]p_X(y)[/math]
 else
    зависнуть

Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным [math]i,x[/math]. Значит, можно рассмотреть такую программу:

[math]US(\langle i, x \rangle )[/math]
    return [math]p_A ( g_{i,x} ) [/math]

Заметим, что [math] L(g_{i,x}) = \begin{cases} X & U(i, x) = 1 \\ \varnothing & U(i, x) \neq 1 \\ \end{cases} [/math]

Следовательно,
[math] US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases} p_A(p_X) & U(i, x) = 1 \\ p_A(p_\varnothing ) & U(i, x) \neq 1 \\ \end{cases} = \begin{cases} 1 & U(i, x) = 1 \\ 0 & U(i, x) \neq 1 \\ \end{cases} [/math] - программа, разрешающая универсальное множество. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]