Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема о мощности минимального вершинного покрытия и максимального паросочетания)
Строка 1: Строка 1:
==Определения==
+
==Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольном графе==
===Минимальное вершинное покрытие===
+
{{Определение|definition=
{{Определение|neat=neat|definition=
+
'''Вершинным покрытием''' ''(англ. vertex covering)'' графа <tex>G=(V,E)</tex> называется такое подмножество <tex>S</tex> множества вершин графа <tex>V</tex>, что любое ребро этого графа инцидентно хотя бы одной вершине из множества <tex>S</tex>.
'''Вершинным покрытием''' (англ. '''Vertex covering''') графа <tex>G=(V,E)</tex> называется такое подмножество <tex>S</tex> множества вершин графа <tex>V</tex>, что любое ребро этого графа инцидентно хотя бы одной вершине из множества <tex>S</tex>.
 
 
}}
 
}}
{{Определение|neat=neat|definition=
+
{{Определение|definition=
'''Минимальным вершинным покрытием''' (англ. '''Minimum vertex covering''') графа <tex>G=(V,E)</tex> называется вершинное покрытие, состоящее из наименьшего числа вершин.  
+
'''Минимальным вершинным покрытием''' ''(англ. minimum vertex covering)'' графа <tex>G=(V,E)</tex> называется вершинное покрытие, состоящее из наименьшего числа вершин.  
 
}}
 
}}
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
<br/>
 
 
  
==Пример==
+
[[Файл:Cover.jpg|left|thumb|300px|Множество вершин красного цвета — минимальное вершинное покрытие.]]
[[Файл:Cover.jpg|thumb|left|300px|Множество вершин красного цвета — минимальное вершинное покрытие.]]
+
<br clear="all"/>
<br/>
 
<br/><br/><br/><br/><br/>
 
<br/><br/><br/><br/><br/>
 
<br/><br/><br/><br/><br/>
 
<br/><br/><br/><br/><br/>
 
 
 
==Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольном графе==
 
 
===Теорема о мощности минимального вершинного покрытия и максимального паросочетания===
 
===Теорема о мощности минимального вершинного покрытия и максимального паросочетания===
 
{{Определение|definition=
 
{{Определение|definition=
'''Максимальным''' [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|'''паросочетанием''']] (англ. '''Maximum matching''') в [[Двудольные графы и раскраска в 2 цвета|двудольном графе]] <tex>G</tex> называется паросочетание максимальной мощности.
+
'''Максимальным''' [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|'''паросочетанием''']] ''(англ. maximum matching)'' в [[Двудольные графы и раскраска в 2 цвета|двудольном графе]] <tex>G</tex> называется паросочетание максимальной мощности.
 
}}
 
}}
  
Строка 54: Строка 39:
 
===Алгоритм построения минимального вершинного покрытия===
 
===Алгоритм построения минимального вершинного покрытия===
 
Из доказательства предыдущей теоремы следует алгоритм поиска минимального вершинного покрытия графа:
 
Из доказательства предыдущей теоремы следует алгоритм поиска минимального вершинного покрытия графа:
*Построить максимальное паросочетание.
+
#Построить максимальное паросочетание.
*Ориентировать ребра:
+
#Ориентировать ребра:
**Из паросочетания — из правой доли в левую.
+
#*Из паросочетания — из правой доли в левую.
**Не из паросочетания — из левой доли в правую.
+
#*Не из паросочетания — из левой доли в правую.
*Запустить обход в глубину из всех свободных вершин левой доли, построить множества <tex>L^+,L^-,R^+,R^-,</tex>.
+
#Запустить обход в глубину из всех свободных вершин левой доли, построить множества <tex>L^+,L^-,R^+,R^-,</tex>.
*В качестве результата взять <tex>L^- \cup R^+</tex>.
+
#В качестве результата взять <tex>L^- \cup R^+</tex>.
  
 
==См. также ==
 
==См. также ==
Строка 66: Строка 51:
 
[[Связь_вершинного_покрытия_и_независимого_множества|Связь вершинного покрытия и независимого множества]].
 
[[Связь_вершинного_покрытия_и_независимого_множества|Связь вершинного покрытия и независимого множества]].
  
== Источники ==
+
==Источники информации==
1. [http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig's_theorem_(graph_theory) Теорема Кёнига].<br/>
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nig's_theorem_(graph_theory) Теорема Кёнига]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о паросочетании]]
 
[[Категория: Задача о паросочетании]]

Версия 00:08, 28 января 2016

Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольном графе

Определение:
Вершинным покрытием (англ. vertex covering) графа [math]G=(V,E)[/math] называется такое подмножество [math]S[/math] множества вершин графа [math]V[/math], что любое ребро этого графа инцидентно хотя бы одной вершине из множества [math]S[/math].


Определение:
Минимальным вершинным покрытием (англ. minimum vertex covering) графа [math]G=(V,E)[/math] называется вершинное покрытие, состоящее из наименьшего числа вершин.


Множество вершин красного цвета — минимальное вершинное покрытие.


Теорема о мощности минимального вершинного покрытия и максимального паросочетания

Определение:
Максимальным паросочетанием (англ. maximum matching) в двудольном графе [math]G[/math] называется паросочетание максимальной мощности.


Теорема (Кёниг):
В произвольном двудольном графе мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть в [math]G[/math] построено максимальное паросочетание. Ориентируем ребра паросочетания, чтобы они шли из правой доли в левую, ребра не из паросочетания — так, чтобы они шли из левой доли в правую. Запустим обход в глубину из всех не насыщенных паросочетанием вершин левой доли. Разобьем вершины каждой доли графа на два множества: те, которые были посещены в процессе обхода, и те, которые не были посещены в процессе обхода. Тогда [math]L = L^+ \cup L^-[/math], [math]R = R^+ \cup R^-[/math], где [math]L, R[/math] — правая и левая доли соответственно, [math]L^+, R^+[/math] — вершины правой и левой доли, посещенные обходом, [math]L^-, R^-[/math] — не посещенные обходом вершины. Тогда в [math]G[/math] могут быть следующие ребра:

Доли [math]L^+, L^-, R^+, R^-[/math] и ребра между ними.
  • Из вершин [math]L^+[/math] в вершины [math]R^+[/math] и из вершин [math]R^+[/math] в вершины [math]L^+[/math].
  • Из вершин [math]L^-[/math] в вершины [math]R^-[/math] и из вершин [math]R^-[/math] в вершины [math]L^-[/math].
  • Из вершин [math]L^-[/math] в вершины [math]R^+[/math].

Очевидно, что ребер из [math]L^+[/math] в [math]R^-[/math] и из из [math]R^+[/math] в [math]L^-[/math] быть не может. Ребер из из [math]R^-[/math] в [math]L^+[/math] быть не может, т.к. если такое ребро [math]uv[/math] существует, то оно — ребро паросочетания. Тогда вершина [math]v[/math] насыщена паросочетанием. Но т.к. [math]v \in L^+[/math], то в нее можно дойти из какой-то ненасыщенной вершины левой доли. Значит, существует ребро [math]wv, w \in R^+[/math]. Но тогда [math]v[/math] инцидентны два ребра из паросочетания. Противоречие.

Заметим, что минимальным вершинным покрытием [math]G[/math] является либо [math]L[/math], либо [math]R[/math], либо [math]L^- \cup R^+[/math]. В [math]R^+[/math] не насыщенных паросочетанием вершин быть не может, т.к. иначе в [math]G[/math] существует дополняющая цепь, что противоречит максимальности построенного паросочетания. В [math]L^-[/math] свободных вершин быть не может, т.к. все они должны находиться в [math]L^+[/math]. Тогда т.к. ребер из паросочетания между [math]R^+[/math] и [math]L^-[/math] нет, то каждому ребру максимальным паросочетания инцидентна ровно одна вершина из [math]L^- \cup R^+[/math].

Тогда [math]|L^- \cup R^+|[/math] равна мощности максимального паросочетания. Множество вершин [math]L^- \cup R^+[/math] является минимальным вершинным покрытием. Значит мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм построения минимального вершинного покрытия

Из доказательства предыдущей теоремы следует алгоритм поиска минимального вершинного покрытия графа:

  1. Построить максимальное паросочетание.
  2. Ориентировать ребра:
    • Из паросочетания — из правой доли в левую.
    • Не из паросочетания — из левой доли в правую.
  3. Запустить обход в глубину из всех свободных вершин левой доли, построить множества [math]L^+,L^-,R^+,R^-,[/math].
  4. В качестве результата взять [math]L^- \cup R^+[/math].

См. также

Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях.
Связь вершинного покрытия и независимого множества.

Источники информации