Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности

342 байта добавлено, 02:45, 30 декабря 2015
м
Источники информации
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>G</tex> - произвольный граф. Превратим каждое его ребро в дугу, придав ребру одно из двух возможных направлений. Полученный [[ориентированный графОсновные определения теории графов#Ориентированные графы|орграф]] на том же самом множестве вершин будем называть '''ориентацией''' графа <tex>G</tex>.
}}
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>K</tex>- — [[Матрица Кирхгофа| матрица Кирхгофа ]] графа <tex>G</tex>, <tex>I</tex>- — [[Матрица инцидентности графа| матрица инцидентности ]] <tex>G</tex> с некоторой ориентацией. Тогда
<tex>K = I \cdot I^T.</tex>
|proof=
При умножении <tex>i</tex>-й строки исходной матрицы <tex>I</tex> на <tex>j</tex>-й столбец транспонированной матрицы <tex>I^T </tex> перемножаются <tex>i</tex>-я и <tex>j</tex>-я строки исходной матрицы. При умножении <tex>i</tex>-й строки на саму себя на диагонали полученной матрицы получится сумма квадратов элементов <tex>i</tex>-й строки, которая равна, очевидно, <tex>\deg(v_i)</tex>. Пусть теперь <tex>i \ne j</tex>. Если <tex> (v_i, v_j) \in E </tex>, то существует ровно одно ребро, соединяющее <tex> v_i </tex> и <tex> v_j </tex>, следовательно результат перемножения <tex>i</tex>-й и <tex>j</tex>-й строк равен <tex>-1</tex>, в противном случае он равен <tex>0 </tex> в силу отсутствия ребра, инцидентного обеим вершинам. Определенная данными условиями матрица и является матрицей Кирхгофа.
}}
{|class="wikitable"
!Матрица инцидентности
|-
|[[Файл:KirhgofLink_kirhgof_matrix_1.png|175px200px]]|<mathtex>\left(\begin{array}{rrrrrr}
2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
-1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\
-1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\
\end{array}\right)</mathtex>|<mathtex>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</mathtex>
|}
== См. также ==*[[Матрица инцидентности графаКирхгофа]]*[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]]*[[Количество помеченных деревьев]]*[[Коды Прюфера]]
[[Матрица Кирхгофа]]==Источники информации==
[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]] ==Источники== *Асанов М., Баранский В., Расин В. {{- --}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]]
[[Категория: Свойства остовных деревьев ]]

Навигация